Что такое 90% доверительный интервал?
90% доверительный интервал — это диапазон значений, рассчитанный по выборочным данным, который при многократном повторении выборок в 90% случаев накрывает истинное среднее генеральной совокупности. Он шире, чем можно было бы предположить по одной точечной оценке, поскольку учитывает изменчивость выборок. Величина «90%» обозначает уровень доверия, которому при использовании стандартного нормального (z) распределения соответствует критическое z-значение 1,645.
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: выборочное среднее (\(\bar{x}\)), выборочное стандартное отклонение (\(s\)) и объём выборки (\(n\)). Калькулятор вычислит стандартную ошибку, погрешность (предельную ошибку) и итоговые нижнюю и верхнюю границы интервала. Этот вариант на основе z предполагает большую выборку (как правило, \(n \geq 30\)) либо известное стандартное отклонение генеральной совокупности. Для малых выборок с неизвестной дисперсией корректнее использовать t-интервал.
Разбор формулы
Интервал считается так: $$CI = \bar{x} \pm 1{,}645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ Выражение \(s/\sqrt{n}\) — это стандартная ошибка среднего; она уменьшается с ростом объёма выборки, делая интервал уже. Умножение на z-значение 1,645 даёт погрешность, которую прибавляют к среднему и вычитают из него, чтобы получить границы.
Пример расчёта
Пусть \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\) и \(n = 30\). Стандартная ошибка равна $$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2{,}7386$$ Погрешность составляет $$1{,}645 \times 2{,}7386 \approx 4{,}5051$$ Значит, 90% доверительный интервал — это \(100 \pm 4{,}5051\), то есть примерно от 95,49 до 104,51.
Частые вопросы
Почему z-значение равно 1,645? Это значение, которое отсекает по 5% в каждом «хвосте» стандартного нормального распределения (10% суммарно), оставляя 90% в центральной части.
Что выбрать — z или t? Используйте z (1,645) для больших выборок или когда стандартное отклонение генеральной совокупности известно. Для малых выборок с оценённым стандартным отклонением применяйте t-распределение с \(n-1\) степенями свободы.
Как сделать интервал уже? Увеличьте объём выборки или снизьте разброс данных. Чем больше \(n\), тем меньше стандартная ошибка и тем теснее интервал.
Z-критические значения для стандартных уровней доверия
Доверительный интервал для среднего (когда стандартное отклонение генеральной совокупности известно или выборка большая) имеет вид \(\text{ДИ} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\), где \(z^*\) — двусторонний z-критическое значение. Критическое значение зависит только от выбранного уровня доверия: более высокий уровень доверия оставляет меньше вероятности в хвостах, и поэтому использует большее значение \(z^*\).
Для интервала 90%, хвосты вместе содержат \(1 - 0.90 = 0.10\) площади, разделённые как \(0.05\) с каждой стороны, что соответствует \(z^* = 1.645\). Таблица ниже приводит стандартные значения.
| Уровень доверия | Площадь хвоста с каждой стороны (\(\alpha/2\)) | Двусторонний z-критический (\(z^*\)) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.282 |
| 90% | 0.050 | 1.645 |
| 95% | 0.025 | 1.960 |
| 98% | 0.010 | 2.326 |
| 99% | 0.005 | 2.576 |
Если вам нужен другой уровень для тех же данных, вы можете пересчитать с помощью инструментов 95% интервал или 99% интервал, которые используют \(z^* = 1.960\) и \(2.576\) соответственно.
Интерпретация вашего доверительного интервала
По стандартному (частотническому) определению, доверительный интервал 90% описывает процедуру, а не один интервал. Если бы вы извлекали много независимых случайных выборок и строили доверительный интервал 90% из каждой, примерно 90% этих интервалов содержали бы истинное среднее генеральной совокупности. 90% — это долгосрочный показатель покрытия метода.
Поэтому неправильно говорить «вероятность того, что истинное среднее находится внутри этого конкретного интервала, составляет 90%». После того как ваши данные собраны, границы — это фиксированные числа, и истинное среднее либо находится, либо не находится внутри них — вероятностное утверждение относится к повторяемой процедуре, а не к одному интервалу перед вами.
Чтобы сообщить результат, укажите точечную оценку, интервал и уровень — например: «выборочное среднее было 100, ДИ 90% [97.00, 103.00]». Эквивалентно вы можете написать его как оценка \(\pm\) погрешность, например \(100 \pm 3.00\).
- Более узкий интервал указывает на более точную оценку. Это результат большего размера выборки, меньшей изменчивости данных или более низкого уровня доверия.
- Более широкий интервал отражает большую неопределённость — из маленькой выборки, высоко переменных данных или требования более высокого уровня доверия, такого как 95% или 99%.
Выбор более высокого уровня доверия (использование большего \(z^*\)) расширяет интервал для тех же данных: вы получаете точность взамен на большую уверенность в покрытии. Сравните ту же выборку на уровне 95%, чтобы увидеть эту компромисс. Обратите также внимание, что z-интервал предполагает известное стандартное отклонение или большую выборку; для малых выборок с оцениваемым стандартным отклонением более подходящим является критическое значение распределения t.
