Khoảng tin cậy 90% là gì?
Khoảng tin cậy 90% là một khoảng giá trị được tính từ dữ liệu mẫu, dự kiến sẽ chứa trung bình thực của tổng thể trong 90% số lần nếu ta lấy mẫu lặp lại nhiều lần. Khoảng này rộng hơn so với ước lượng tổng thể đơn thuần vì nó đã tính đến biến thiên do lấy mẫu. Con số "90%" chính là mức tin cậy, tương ứng với giá trị tới hạn z bằng \(1.645\) khi sử dụng phân phối chuẩn tắc (phân phối z).
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập ba giá trị: trung bình mẫu (\(\bar{x}\)), độ lệch chuẩn của mẫu (\(s\)) và cỡ mẫu (\(n\)). Máy tính sẽ tự động tính sai số chuẩn, sai số biên, cùng với cận dưới và cận trên của khoảng tin cậy. Phiên bản dựa trên z này giả định mẫu lớn (thường là \(n \geq 30\)) hoặc đã biết độ lệch chuẩn của tổng thể. Với mẫu nhỏ và phương sai chưa biết, bạn nên dùng khoảng tin cậy theo phân phối t thì phù hợp hơn.
Giải thích công thức
Công thức của khoảng tin cậy là $$CI = \bar{x} \pm 1.645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$. Trong đó, \(s/\sqrt{n}\) là sai số chuẩn của trung bình — giá trị này càng nhỏ khi cỡ mẫu càng lớn, giúp khoảng tin cậy hẹp lại. Nhân với z bằng \(1.645\) ta được sai số biên, rồi cộng và trừ vào trung bình mẫu để có hai đầu mút của khoảng.
Ví dụ minh họa
Giả sử \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\) và \(n = 30\). Sai số chuẩn là $$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2.7386$$ Sai số biên là $$1.645 \times 2.7386 \approx 4.5051$$ Vậy khoảng tin cậy 90% là \(100 \pm 4.5051\), tức khoảng 95.49 đến 104.51.
Giá trị Z tới hạn cho các mức độ tin cậy phổ biến
Khoảng tin cậy cho một trung bình (khi biết độ lệch chuẩn của quần thể hoặc mẫu có cỡ lớn) có dạng \(\text{CI} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\), trong đó \(z^*\) là giá trị z tới hạn hai đuôi. Giá trị tới hạn chỉ phụ thuộc vào mức độ tin cậy đã chọn: mức độ tin cậy cao hơn để lại ít xác suất hơn ở các đuôi và do đó sử dụng \(z^*\) lớn hơn.
Đối với khoảng 90%, các đuôi cùng nhau chứa \(1 - 0.90 = 0.10\) diện tích, chia đều là \(0.05\) mỗi bên, tương ứng với \(z^* = 1.645\). Bảng dưới đây liệt kê các giá trị tiêu chuẩn.
| Mức độ tin cậy | Diện tích đuôi mỗi bên (\(\alpha/2\)) | Z tới hạn hai đuôi (\(z^*\)) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.282 |
| 90% | 0.050 | 1.645 |
| 95% | 0.025 | 1.960 |
| 98% | 0.010 | 2.326 |
| 99% | 0.005 | 2.576 |
Nếu bạn cần một mức độ khác nhau cho cùng dữ liệu, bạn có thể chạy lại phép tính với các công cụ khoảng tin cậy 95% hoặc khoảng tin cậy 99%, chúng sử dụng \(z^* = 1.960\) và \(2.576\) tương ứng.
Diễn giải khoảng tin cậy của bạn
Theo định nghĩa tiêu chuẩn (tần số), khoảng tin cậy 90% mô tả một quy trình, không phải một khoảng duy nhất. Nếu bạn rút ra nhiều mẫu ngẫu nhiên độc lập và xây dựng khoảng 90% từ mỗi mẫu, khoảng 90% các khoảng đó sẽ chứa trung bình quần thể thực. 90% là tỷ lệ bao phủ dài hạn của phương pháp.
Do đó, không chính xác khi nói "có xác suất 90% trung bình thực nằm trong khoảng cụ thể này." Sau khi dữ liệu của bạn được thu thập, các giới hạn là các số cố định và trung bình thực hoặc là nằm hoặc không nằm trong chúng — phát biểu xác suất áp dụng cho quy trình lặp lại, không phải cho một khoảng duy nhất trước mặt bạn.
Để báo cáo kết quả, nêu ước tính điểm, khoảng và mức độ — ví dụ: "trung bình mẫu là 100, CI 90% [97.00, 103.00]." Bạn có thể viết tương đương như ước tính \(\pm\) sai số biên, ví dụ \(100 \pm 3.00\).
- Khoảng hẹp hơn biểu hiện ước tính chính xác hơn. Nó kết quả từ cỡ mẫu lớn hơn, độ biến thiên thấp hơn trong dữ liệu, hoặc mức độ tin cậy thấp hơn.
- Khoảng rộng hơn phản ánh sự không chắc chắn nhiều hơn — từ mẫu nhỏ, dữ liệu có độ biến thiên cao, hoặc yêu cầu mức độ tin cậy cao hơn như 95% hoặc 99%.
Chọn mức độ tin cậy cao hơn (sử dụng \(z^*\) lớn hơn) làm cho khoảng rộng hơn cho cùng dữ liệu: bạn đánh đổi độ chính xác để có sự đảm bảo bao phủ lớn hơn. So sánh cùng mẫu ở mức 95% để xem sự đánh đổi này. Lưu ý rằng khoảng dựa trên z giả định độ lệch chuẩn đã biết hoặc mẫu lớn; đối với các mẫu nhỏ với độ lệch chuẩn ước tính, giá trị tới hạn phân phối t phù hợp hơn.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao z lại là 1.645? Đây là giá trị để lại 5% ở mỗi đuôi của phân phối chuẩn tắc (tổng cộng 10%), tương ứng với 90% nằm ở phần giữa.
Nên dùng z hay t? Dùng z (\(1.645\)) khi mẫu lớn hoặc đã biết độ lệch chuẩn của tổng thể. Với mẫu nhỏ và độ lệch chuẩn chỉ là ước lượng, hãy dùng phân phối t với \(n-1\) bậc tự do.
Làm sao để khoảng tin cậy hẹp hơn? Tăng cỡ mẫu hoặc giảm độ biến thiên. Cỡ mẫu \(n\) càng lớn thì sai số chuẩn càng nhỏ và khoảng tin cậy càng hẹp.
