90%信頼区間とは？
90%信頼区間とは、標本データから算出した値の範囲のことで、サンプリングを繰り返した場合に、その区間が母平均（母集団の真の平均）を含む割合が90%になると期待されるものです。サンプリングによるばらつきを考慮しているため、単純な母集団の推定値よりも幅が広くなります。「90%」は信頼水準を指し、標準正規分布（z分布）を用いる場合のz臨界値1.645に対応します。
この計算ツールの使い方
次の3つの値を入力してください。標本平均（\(\bar{x}\)）、標本標準偏差（\(s\)）、標本サイズ（\(n\)）です。このツールが標準誤差、誤差の許容範囲（マージン）、そして区間の下限・上限を自動で計算します。このz値ベースのバージョンは、標本サイズが大きい場合（一般に\(n \geq 30\)）、または母標準偏差が既知である場合を前提としています。分散が未知の小標本では、t分布による区間（t信頼区間）を用いる方が適切です。
計算式の解説
区間は $$CI = \bar{x} \pm 1.645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ で求めます。\(s/\sqrt{n}\) は平均の標準誤差であり、標本サイズが大きくなるほど小さくなるため、区間も狭まります。これにz値1.645を掛けると誤差の許容範囲（マージン）が得られ、これを平均値に加算・減算することで上限・下限が決まります。
計算例
\(\bar{x} = 100\)、\(s = 15\)、\(n = 30\) とします。標準誤差は $$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2.7386$$ です。誤差の許容範囲は $$1.645 \times 2.7386 \approx 4.5051$$ となります。したがって90%信頼区間は \(100 \pm 4.5051\)、すなわち 約95.49～104.51 です。
一般的な信頼水準の Z 臨界値
平均の信頼区間（母標準偏差が既知の場合またはサンプルが大きい場合）は、\(\text{CI} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\) の形式をとります。ここで \(z^*\) は両側 z 臨界値です。臨界値は選択した信頼水準にのみ依存します。信頼水準が高いほど、尾部に残る確率が少なくなり、より大きい \(z^*\) を使用します。
90% の区間では、尾部は合わせて \(1 - 0.90 = 0.10\) の面積を保有し、一側あたり \(0.05\) に分割されます。これは \(z^* = 1.645\) に対応します。以下の表は標準値を示しています。
| 信頼水準 | 一側あたりの尾部面積 (\(\alpha/2\)) | 両側 z 臨界値 (\(z^*\)) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.282 |
| 90% | 0.050 | 1.645 |
| 95% | 0.025 | 1.960 |
| 98% | 0.010 | 2.326 |
| 99% | 0.005 | 2.576 |
同じデータに別の水準が必要な場合は、95% 区間または99% 区間ツールで計算を再実行できます。これらは \(z^* = 1.960\) および \(2.576\) をそれぞれ使用します。
信頼区間の解釈
標準的な（頻度主義的）定義では、90% 信頼区間は単一の区間ではなく、手順を説明します。多くの独立した無作為標本を抽出し、それぞれから 90% 区間を構築した場合、それらの区間の約 90% が真の母平均を含むことになります。90% は、この方法の長期的カバレッジ率です。
したがって、「この特定の区間の内部に真の平均がある確率は 90% である」と述べるのは正しくありません。データが収集されると、境界は固定数値であり、真の平均はそれらの内部にあるか、ないかのいずれかです。確率ステートメントは反復手順に適用され、目の前にある 1 つの区間には適用されません。
結果を報告する場合は、点推定値、区間、および水準を述べてください。例：「標本平均は 100、90% CI [97.00, 103.00]。」 これは推定値 \(\pm\) 誤差限界として同等に記述できます。例：\(100 \pm 3.00\)。
- より狭い区間は、より正確な推定を示します。これは、より大きなサンプル サイズ、データの変動性の低さ、または低い信頼水準から生じます。
- より広い区間は、より多くの不確実性を反映します。小さなサンプル、変動性の高いデータ、または 95% または 99% などの高い信頼水準を要求することから生じます。
同じデータに対してより高い信頼水準を選択する（より大きい \(z^*\) を使用する）と、区間が広がります。精密さとカバレッジの保証が大きいことのトレードオフが生じます。同じサンプルを95% 水準で比較して、このトレードオフを確認してください。また、z ベースの区間は既知の標準偏差または大きなサンプルを想定しており、推定標準偏差を持つ小さなサンプルについては、t 分布臨界値がより適切です。
よくある質問（FAQ）
なぜz値は1.645なのですか？ これは標準正規分布の両側にそれぞれ5%ずつ（合計10%）を残す値で、中央の90%に対応します。
zとt、どちらを使うべき？ 大標本の場合や母標準偏差が既知の場合はz（1.645）を使います。標準偏差を推定した小標本では、自由度\(n-1\)のt分布を使ってください。
区間を狭くするには？ 標本サイズを増やすか、ばらつきを抑えましょう。\(n\)が大きいほど標準誤差が小さくなり、区間が狭まります。
