90% 신뢰구간이란?
90% 신뢰구간은 표본 데이터로부터 계산한 값의 범위로, 동일한 방식으로 표본 추출을 반복했을 때 그중 90%의 구간이 실제 모평균을 포함할 것으로 기대되는 범위를 말합니다. 표본마다 값이 달라지는 표본 변동성을 함께 반영하기 때문에, 단순한 모평균 추정치보다 폭이 넓습니다. 여기서 '90%'는 신뢰수준을 의미하며, 표준정규분포(z 분포)를 사용할 때 z 임계값 \(1.645\)에 해당합니다.
계산기 사용 방법
세 가지 값을 입력하세요: 표본평균(\(\bar{x}\)), 표본 표준편차(\(s\)), 표본 크기(\(n\))입니다. 계산기는 표준오차와 오차범위를 구한 뒤, 신뢰구간의 하한값과 상한값을 계산합니다. 이 z 기반 방식은 표본 크기가 큰 경우(보통 \(n \geq 30\))이거나 모표준편차를 알고 있는 경우를 전제로 합니다. 표본이 작고 분산을 모르는 경우에는 t 분포를 이용한 t 신뢰구간이 더 적합합니다.
공식 자세히 보기
신뢰구간은 다음과 같이 구합니다.
$$CI = \bar{x} \pm 1.645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$여기서 \(s/\sqrt{n}\)은 평균의 표준오차로, 표본 크기가 커질수록 작아져 구간을 더 좁게 만듭니다. 여기에 z값 \(1.645\)를 곱하면 오차범위가 되며, 이 값을 평균에 더하고 빼서 상한값과 하한값을 만듭니다.
계산 예시
예를 들어 \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\), \(n = 30\)이라고 가정해 봅시다. 표준오차는 다음과 같습니다.
$$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2.7386$$오차범위는 다음과 같이 됩니다.
$$1.645 \times 2.7386 \approx 4.5051$$따라서 90% 신뢰구간은 \(100 \pm 4.5051\), 즉 약 95.49 ~ 104.51 이 됩니다.
일반적인 신뢰 수준의 Z-임계값
모집단 표준편차가 알려져 있거나 표본이 큰 경우 평균의 신뢰구간은 \(\text{CI} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}\) 형태이며, 여기서 \(z^*\)는 양측 z-임계값입니다. 임계값은 선택한 신뢰 수준에만 의존합니다. 신뢰 수준이 높을수록 꼬리에 남은 확률이 적어지므로 더 큰 \(z^*\)를 사용합니다.
90% 신뢰구간의 경우 꼬리가 전체적으로 \(1 - 0.90 = 0.10\)의 면적을 차지하며, 양쪽에 각각 \(0.05\)씩 분할되어 \(z^* = 1.645\)에 해당합니다. 아래 표는 표준값을 나열합니다.
| 신뢰 수준 | 한쪽 꼬리 면적 (\(\alpha/2\)) | 양측 z-임계값 (\(z^*\)) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.282 |
| 90% | 0.050 | 1.645 |
| 95% | 0.025 | 1.960 |
| 98% | 0.010 | 2.326 |
| 99% | 0.005 | 2.576 |
동일한 데이터에 대해 다른 수준이 필요한 경우 95% 신뢰구간 또는 99% 신뢰구간 도구를 사용하여 계산을 다시 실행할 수 있으며, 이들은 각각 \(z^* = 1.960\) 및 \(2.576\)을 사용합니다.
신뢰구간 해석
표준 빈도주의 정의에 따르면 90% 신뢰구간은 단일 구간이 아니라 절차를 나타냅니다. 많은 독립적인 무작위 표본을 추출하고 각각에서 90% 신뢰구간을 구축한다면, 약 90%의 신뢰구간이 참 모집단 평균을 포함할 것입니다. 90%는 이 방법의 장기 적중 범위입니다.
따라서 "참 평균이 이 특정 신뢰구간 내에 있을 확률이 90%이다"라고 말하는 것은 올바르지 않습니다. 데이터를 수집한 후 구간의 경계는 고정된 숫자이며, 참 평균이 그 안에 있거나 없습니다. 확률 진술은 반복된 절차에 적용되며, 앞에 있는 하나의 신뢰구간에는 적용되지 않습니다.
결과를 보고할 때는 점 추정치, 신뢰구간 및 수준을 명시합니다. 예를 들어: "표본 평균은 100이고, 90% CI [97.00, 103.00]입니다." 추정치 \(\pm\) 오차 한계로 동등하게 표현할 수 있습니다. 예: \(100 \pm 3.00\).
- 더 좁은 신뢰구간은 더 정확한 추정을 나타냅니다. 이는 더 큰 표본 크기, 데이터의 낮은 변동성 또는 더 낮은 신뢰 수준에서 비롯됩니다.
- 더 넓은 신뢰구간은 더 큰 불확실성을 반영합니다. 이는 작은 표본, 매우 가변적인 데이터 또는 95% 또는 99%와 같은 더 높은 신뢰 수준을 요구하기 때문입니다.
더 높은 신뢰 수준을 선택하면(더 큰 \(z^*\)를 사용) 동일한 데이터에 대해 신뢰구간이 넓어집니다. 정확도를 높은 적중 확신으로 교환합니다. 95% 수준에서 동일한 표본을 비교하여 이 교환을 확인하십시오. 또한 z-기반 신뢰구간은 알려진 표준편차 또는 큰 표본을 가정합니다. 추정된 표준편차를 갖는 작은 표본의 경우 t-분포 임계값이 더 적절합니다.
자주 묻는 질문
왜 z값이 1.645인가요? 표준정규분포에서 양쪽 꼬리에 각각 5%(합쳐서 10%)를 남기고 가운데 90%에 해당하는 값이 바로 \(1.645\)이기 때문입니다.
z를 써야 하나요, t를 써야 하나요? 표본 크기가 크거나 모표준편차를 아는 경우에는 z(\(1.645\))를 사용합니다. 표본이 작고 표준편차를 추정해야 하는 경우에는 자유도 \(n-1\)의 t 분포를 사용하세요.
구간을 더 좁게 만들려면 어떻게 해야 하나요? 표본 크기를 늘리거나 변동성을 줄이면 됩니다. \(n\)이 커질수록 표준오차가 작아져 구간이 좁아집니다.
