이 계산기는 무엇을 하나요?
이 도구는 표본 데이터를 바탕으로 모평균의 신뢰구간을 구해 줍니다. 모집단의 표준편차를 모르는 경우 — 실제 현장에서는 거의 대부분이 그렇습니다 — 정규분포(z)가 아니라 스튜던트 t분포를 사용하는 것이 올바른 방법입니다. 신뢰구간은 여러분이 선택한 신뢰수준에서 실제 모평균이 위치할 만한 합리적인 범위를 알려 줍니다.
사용 방법
표본평균(\(\bar{x}\)), 표본 표준편차(\(s\)), 표본크기(\(n\))를 입력하고 신뢰수준을 90%, 95%, 99% 중에서 선택하세요. 계산기는 신뢰구간의 하한값과 상한값, 오차한계(margin of error), 임계 t값, 표준오차, 그리고 자유도(\(n - 1\))를 함께 보여 줍니다.
공식 풀이
신뢰구간은 다음과 같이 계산합니다.
$$\text{CI} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$$여기서 \(s/\sqrt{n}\)은 평균의 표준오차로, 표본평균이 실제 모평균으로부터 얼마나 흔들릴 수 있는지를 나타냅니다. 임계값 \(t\)는 자유도(\(n - 1\))와 선택한 신뢰수준에 따라 달라집니다. 표준오차에 \(t\)를 곱하면 오차한계가 되고, 이 값을 표본평균에 더하고 빼서 구간의 양 끝을 구합니다.
예제로 보기
\(\bar{x} = 100\), \(s = 15\), \(n = 30\)이고 신뢰수준이 95%라고 해 봅시다. 표준오차는 \(15/\sqrt{30} \approx 2.7386\)입니다. 자유도가 29일 때 임계 t값은 약 \(2.0452\)이므로, 오차한계는 약 \(5.601\)이 됩니다. 따라서 95% 신뢰구간은 대략 \(94.40\)에서 \(105.60\)까지입니다.
자주 묻는 질문
z 대신 t를 언제 써야 하나요? 모집단 표준편차를 모르고 표본에서 추정해야 할 때는 항상 t분포를 사용합니다. 실제 대부분의 데이터가 여기에 해당합니다. 다만 표본크기 \(n\)이 크면 t값과 z값은 거의 같아집니다.
'95% 신뢰'는 무슨 뜻인가요? 동일한 방식으로 표본을 여러 번 뽑아 매번 신뢰구간을 만든다면, 그중 약 95%의 구간이 실제 모평균을 포함하게 된다는 의미입니다.
데이터가 정규분포라고 가정하나요? t 신뢰구간은 데이터가 대략 정규분포를 따르거나, 표본이 충분히 커서 중심극한정리가 적용될 수 있다는 가정 위에 성립합니다.
