ماذا تفعل هذه الحاسبة
تبني هذه الأداة فترة ثقة لمتوسط مجتمع إحصائي انطلاقًا من بيانات عيّنة. وعندما يكون الانحراف المعياري للمجتمع مجهولًا — وهو الحال الغالب في التطبيقات العملية تقريبًا دائمًا — فإن الطريقة الصحيحة تعتمد على توزيع ستودنت-t بدلًا من التوزيع الطبيعي (z). تمنحك الفترة نطاقًا معقولًا يقع ضمنه المتوسط الحقيقي عند مستوى الثقة الذي تختاره.
كيفية الاستخدام
أدخل متوسط العينة (\(\bar{x}\))، والانحراف المعياري للعينة (\(s\))، وحجم العينة (\(n\))، ثم اختر مستوى ثقة بنسبة 90% أو 95% أو 99%. تعرض لك الحاسبة الحدّ الأدنى والحدّ الأعلى للفترة، وهامش الخطأ، وقيمة t الحرجة، والخطأ المعياري، ودرجات الحرية (\(n - 1\)).
شرح المعادلة
تُحسب الفترة بالصيغة
$$\text{CI} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$$هنا يمثّل المقدار \(s/\sqrt{n}\) الخطأ المعياري للمتوسط، الذي يقيس مقدار التذبذب المتوقّع لمتوسط العينة عن المتوسط الحقيقي. أما القيمة الحرجة t فتعتمد على درجات الحرية (\(n - 1\)) وعلى مستوى الثقة المختار. وبضرب الخطأ المعياري في قيمة t نحصل على هامش الخطأ، الذي يُضاف إلى متوسط العينة ويُطرح منه.
مثال تطبيقي
لنفترض أن \(\bar{x} = 100\)، و \(s = 15\)، و \(n = 30\)، عند مستوى ثقة 95%. عندئذٍ يكون الخطأ المعياري \(15/\sqrt{30} \approx 2.7386\). ومع 29 درجة حرية تكون قيمة t الحرجة \(\approx 2.0452\)، وبذلك يبلغ هامش الخطأ نحو \(5.601\). وتمتد فترة الثقة بنسبة 95% تقريبًا من \(94.40\) إلى \(105.60\).
الأسئلة الشائعة
متى أستخدم توزيع t بدلًا من z؟ استخدم توزيع t كلما كان الانحراف المعياري للمجتمع مجهولًا وقدّرته من العيّنة — وهذا ما ينطبق على أغلب مجموعات البيانات الواقعية. ومع كبر حجم العينة \(n\) تتقارب قيمتا t و z حتى تكادا تتطابقان.
ماذا يعني مستوى ثقة 95%؟ لو كرّرت سحب العيّنات مرّات كثيرة وبنيت فترة في كل مرة، فإن نحو 95% من تلك الفترات ستحتوي على المتوسط الحقيقي للمجتمع.
هل تفترض الطريقة أن البيانات طبيعية التوزيع؟ تفترض فترة t أن البيانات قريبة من التوزيع الطبيعي، أو أن حجم العينة كبير بما يكفي لتطبيق نظرية النهاية المركزية.
