Что считает этот калькулятор
Этот инструмент строит доверительный интервал для среднего генеральной совокупности на основе выборочных данных. Когда стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно — а на практике так бывает почти всегда — корректнее использовать t-распределение Стьюдента, а не нормальное (z) распределение. Полученный интервал показывает правдоподобный диапазон значений истинного среднего при выбранном вами уровне доверия.
Как пользоваться калькулятором
Введите выборочное среднее (\(\bar{x}\)), выборочное стандартное отклонение (\(s\)), объём выборки (\(n\)) и выберите уровень доверия — 90%, 95% или 99%. Калькулятор выдаст нижнюю и верхнюю границы интервала, предельную ошибку, критическое значение \(t\), стандартную ошибку и число степеней свободы (\(n - 1\)).
Разбираем формулу
Интервал вычисляется как
$$\text{CI} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$$Здесь \(s/\sqrt{n}\) — это стандартная ошибка среднего, которая показывает, насколько выборочное среднее может отклоняться от истинного. Критическое значение \(t\) зависит от числа степеней свободы (\(n - 1\)) и выбранного уровня доверия. Умножив стандартную ошибку на \(t\), мы получаем предельную ошибку, которую прибавляют к выборочному среднему и вычитают из него.
Пример расчёта
Пусть \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\), \(n = 30\) при уровне доверия 95%. Стандартная ошибка равна
$$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2{,}7386$$При 29 степенях свободы критическое значение \(t \approx 2{,}0452\), поэтому предельная ошибка составляет около \(5{,}601\). Тогда 95-процентный доверительный интервал — примерно от \(94{,}40\) до \(105{,}60\).
Частые вопросы
Когда применять t, а не z? Используйте t-распределение всегда, когда стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно и вы оцениваете его по выборке, — а это справедливо для большинства реальных данных. При большом \(n\) значения \(t\) и \(z\) практически совпадают.
Что означает уровень доверия 95%? Если многократно повторять выборку и каждый раз строить интервал, то примерно 95% таких интервалов будут содержать истинное среднее генеральной совокупности.
Нужно ли, чтобы данные были нормально распределены? t-интервал предполагает, что данные приблизительно нормальны или что выборка достаточно велика, чтобы работала центральная предельная теорема.
