Что такое 99% доверительный интервал?
99% доверительный интервал — это диапазон значений, который с вероятностью 99% содержит истинное среднее генеральной совокупности. Он рассчитывается на основе среднего выборки, стандартного отклонения выборки и её объёма. Чем шире интервал, тем выше уверенность, что он накрывает реальное среднее, — и уровень в 99% даёт более широкий интервал, чем привычный многим уровень 95%.
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: среднее выборки (\(\bar{x}\)), стандартное отклонение выборки (\(s\)) и объём выборки (\(n\)). Калькулятор вычислит стандартную ошибку, предельную ошибку, а также нижнюю и верхнюю границы 99% доверительного интервала. В расчётах используется нормальное (z) распределение, что корректно при достаточно большом объёме выборки (как правило, при \(n \geq 30\)).
Разбор формулы
Формула выглядит так: $$CI = \bar{x} \pm 2{,}576 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ Число 2,576 — это z-оценка, которая отсекает по 0,5% распределения в каждом хвосте и охватывает центральные 99%. Выражение \(s / \sqrt{n}\) — это стандартная ошибка, которая уменьшается с ростом выборки. Иными словами, чем больше выборка, тем уже и точнее интервал.
Пример расчёта
Пусть \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\) и \(n = 30\). Стандартная ошибка равна $$\frac{15}{\sqrt{30}} = \frac{15}{5{,}4772} \approx 2{,}7386$$ Предельная ошибка составит $$2{,}576 \times 2{,}7386 \approx 7{,}0547$$ Тогда 99% доверительный интервал равен \(100 \pm 7{,}05\), то есть примерно от 92,95 до 107,05.
Частые вопросы
Почему используется именно 2,576? Это критическое значение z для двустороннего 99% доверительного уровня в стандартном нормальном распределении.
Когда лучше использовать t-распределение? Если выборка небольшая (\(n < 30\)), а стандартное отклонение генеральной совокупности неизвестно, более точный интервал даст t-оценка.
Означает ли более широкий интервал меньшую точность? Нет — широкий интервал отражает более высокий уровень уверенности. 99% интервал шире 95%, потому что должен с большей надёжностью включать истинное среднее.
Z-оценки для общих уровней доверия
Доверительный интервал для среднего значения использует критическое значение z, которое зависит от выбранного уровня доверия. Чем выше доверие, тем больше значение z и шире интервал. Приведённые ниже значения — двусторонние критические значения из стандартного нормального распределения с соответствующей площадью в каждом хвосте.
| Уровень доверия | Двусторонняя Z-оценка | Площадь хвоста на каждой стороне |
|---|---|---|
| 80% | 1.282 | 0.100 |
| 90% | 1.645 | 0.050 |
| 95% | 1.960 | 0.025 |
| 98% | 2.326 | 0.010 |
| 99% | 2.576 | 0.005 |
| 99.9% | 3.291 | 0.0005 |
Для 99% интервала общая площадь хвостов равна \(1 - 0.99 = 0.01\), разделённая на \(0.005\) с каждой стороны. Z-оценка, оставляющая 0.005 в верхнем хвосте, составляет приблизительно 2.576, поэтому этот калькулятор умножает стандартную ошибку на 2.576.
Интерпретация вашего доверительного интервала
Доверительный интервал 99% — это утверждение о долгосрочной процедуре, а не об одном результате. Если бы вы многократно выбирали случайные выборки и строили 99% интервал для каждой, то примерно 99% этих интервалов содержали бы истинное среднее значение совокупности. Неправильно говорить, что существует 99% вероятность того, что истинное среднее лежит внутри вашего конкретного интервала — для заданного вычисленного интервала истинное среднее либо находится внутри него, либо нет, а 99% описывает надёжность метода на множестве выборок.
Корректная интерпретация зависит от нескольких предположений:
- Случайная выборка: данные должны быть случайной, независимой выборкой из интересующей вас совокупности. Смещённые или удобные выборки могут производить интервалы, которые систематически пропускают истинное среднее значение.
- Приблизительная нормальность: распределение выборки среднего значения должно быть примерно нормальным. При больших выборках это справедливо по центральной предельной теореме даже если исходные данные асимметричны; при малых выборках это в большей степени зависит от того, является ли основными данные приблизительно нормальными.
- Известное или основанное на большой выборке стандартное отклонение: использование z-оценки 2.576 предполагает, что стандартное отклонение известно или что выборка достаточно велика, чтобы нормальное приближение было адекватным. Для малых выборок с оценённым стандартным отклонением интервал на основе t более точен.
Наконец, интервал оценивает среднее значение совокупности, а не разброс отдельных значений. Доверительный интервал 99% от 96.14 до 103.86 указывает, где вероятно упадёт среднее — это не означает, что 99% отдельных наблюдений лежат в этом диапазоне. Чтобы описать отдельные значения, вам вместо этого понадобятся интервал предсказания или интервал допуска.
