Доверительный интервал для разности двух долей

Введите расчет

Число успехов в группе 1 (x₁)

Объём выборки группы 1 (n₁)

Число успехов в группе 2 (x₂)

Объём выборки группы 2 (n₂)

Уровень доверия 90% 95% 99%

Результатов

Доверительный интервал для p₁ − p₂

-0,0315  to  0,2315

разность двух долей

Доля 1 (p̂₁)	0,4
Доля 2 (p̂₂)	0,3
Разность (p̂₁ − p̂₂)	0,1
Стандартная ошибка	0,067082
z-значение	1,96
Предельная ошибка	0,131478

Что делает этот калькулятор

Этот инструмент оценивает доверительный интервал (ДИ) для разности между двумя независимыми генеральными долями. Вы вводите число «успехов» и объём выборки для каждой из двух групп, выбираете уровень доверия (90%, 95% или 99%), а калькулятор возвращает нижнюю и верхнюю границы интервала, а также сами выборочные доли, стандартную ошибку, z-значение и предельную ошибку. Это универсальный статистический метод — он не привязан к какой-либо стране или системе правил.

Как пользоваться

Введите x₁ (число успехов в группе 1) и n₁ (объём выборки группы 1), затем x₂ и n₂ для группы 2. Выберите уровень доверия и посмотрите итоговый интервал. Если интервал содержит 0, разность между двумя долями статистически не значима на этом уровне. Если же он целиком лежит выше или ниже 0, одна доля значимо больше другой.

Разбор формулы

Выборочные доли вычисляются так: \(\hat{p}_1 = x_1/n_1\) и \(\hat{p}_2 = x_2/n_2\). Стандартная ошибка объединяет дисперсию обеих оценок:

$$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1} + \frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$$

Сам интервал имеет вид

$$\left(\hat{p}_1 - \hat{p}_2\right) \pm z \cdot SE,$$

где \(z\) — критическое значение (1,645 для 90%, 1,960 для 95%, 2,576 для 99%). Это метод Вальда (нормальное приближение), который хорошо работает, когда в каждой группе примерно не меньше 10 успехов и 10 неудач.

Реклама

Каждая выборка даёт долю (успехи ÷ объём); их разность и есть оцениваемая величина.

Доверительный интервал откладывает симметричную погрешность по обе стороны от \(\hat{p}_1-\hat{p}_2\).

Пример расчёта

Пусть в группе 1 — 40 успехов из 100 (\(\hat{p}_1 = 0{,}40\)), а в группе 2 — 30 из 100 (\(\hat{p}_2 = 0{,}30\)). Разность равна 0,10.

$$SE = \sqrt{\frac{0{,}40\cdot0{,}60}{100} + \frac{0{,}30\cdot0{,}70}{100}} = \sqrt{0{,}0024 + 0{,}0021} = \sqrt{0{,}0045} \approx 0{,}06708$$

При уровне 95% предельная ошибка \(= 1{,}95996 \times 0{,}06708 \approx 0{,}13148\). Тогда ДИ составляет примерно \(0{,}10 \pm 0{,}131\), то есть около (−0,0315; 0,2315). Поскольку интервал включает 0, разность не значима на уровне 95%.

Частые вопросы

Когда применимо нормальное приближение? Распространённое правило — не менее 10 успехов и 10 неудач в каждой группе; для очень малых выборок лучше использовать точные методы.

Что значит, если интервал содержит 0? Это означает, что на выбранном уровне доверия статистически значимой разницы между двумя долями нет.

Могут ли доли выйти за пределы диапазона [−1; 1]? Сама разность всегда лежит между −1 и 1, однако границы интервала Вальда теоретически могут немного выходить за разумные значения при экстремальных исходных данных.