À quoi sert ce calculateur
Cet outil construit un intervalle de confiance pour la moyenne d'une population à partir des données d'un échantillon. Lorsque l'écart-type de la population est inconnu — ce qui est presque toujours le cas en pratique —, la bonne méthode repose sur la loi de Student (t) plutôt que sur la loi normale (z). L'intervalle vous fournit une fourchette plausible pour la vraie moyenne, au niveau de confiance que vous avez choisi.
Comment l'utiliser
Renseignez la moyenne de l'échantillon (\(\bar{x}\)), l'écart-type de l'échantillon (\(s\)), la taille de l'échantillon (\(n\)), puis choisissez un niveau de confiance de 90 %, 95 % ou 99 %. Le calculateur affiche les bornes inférieure et supérieure, la marge d'erreur, la valeur critique \(t\), l'erreur type ainsi que le nombre de degrés de liberté (\(n - 1\)).
La formule expliquée
L'intervalle s'écrit
$$\text{CI} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$$Ici, \(s/\sqrt{n}\) correspond à l'erreur type de la moyenne, qui mesure l'écart attendu entre la moyenne de l'échantillon et la vraie moyenne. La valeur critique \(t\) dépend du nombre de degrés de liberté (\(n - 1\)) et du niveau de confiance retenu. En multipliant l'erreur type par \(t\), on obtient la marge d'erreur, que l'on ajoute puis retranche à la moyenne de l'échantillon.
Exemple chiffré
Supposons \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\), \(n = 30\), avec un niveau de confiance de 95 %. L'erreur type vaut \(15/\sqrt{30} \approx 2{,}7386\). Avec 29 degrés de liberté, la valeur critique \(t \approx 2{,}0452\) : la marge d'erreur est donc d'environ 5,601. L'intervalle de confiance à 95 % s'étend ainsi à peu près de 94,40 à 105,60.
Questions fréquentes
Quand faut-il utiliser t plutôt que z ? Utilisez la loi de Student dès lors que l'écart-type de la population est inconnu et que vous l'estimez à partir de l'échantillon — ce qui est le cas de la plupart des jeux de données réels. Pour un grand \(n\), les valeurs de \(t\) et de \(z\) deviennent quasiment identiques.
Que signifie un niveau de confiance de 95 % ? Si vous répétiez le tirage de l'échantillon un grand nombre de fois en construisant à chaque fois un intervalle, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie moyenne de la population.
Faut-il que les données suivent une loi normale ? L'intervalle de Student suppose que les données sont approximativement normales, ou que l'échantillon est assez grand pour que le théorème central limite s'applique.
