Qu'est-ce qu'un intervalle de confiance binomial ?
Lorsque vous observez un certain nombre de succès (x) sur un nombre total d'essais (n), la proportion observée \(\hat{p} = x/n\) constitue une estimation de la véritable probabilité de succès. Un intervalle de confiance fournit une plage de valeurs susceptible de contenir cette proportion réelle. Ce calculateur s'appuie sur l'intervalle par score de Wilson, plus précis que l'intervalle de Wald classique (approximation normale), notamment pour les petits échantillons ou les proportions proches de 0 ou de 1.
Comment l'utiliser
Indiquez le nombre de succès, le nombre total d'essais, puis choisissez votre niveau de confiance (90 %, 95 % ou 99 %). Le calculateur affiche les bornes basse et haute de l'intervalle en pourcentage, ainsi que la proportion observée, le centre de l'intervalle, la marge (demi-largeur) et le score z utilisé.
La formule expliquée
L'intervalle de Wilson recentre l'estimation sur une proportion légèrement ajustée et resserre sa largeur vers 0,5 pour les petits échantillons :
$$\text{IC} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$Ici, \(z\) désigne la valeur critique de la loi normale centrée réduite : 1,6449 pour 90 %, 1,9600 pour 95 % et 2,5758 pour 99 %.
Exemple concret
Imaginons 40 succès sur 100 essais, avec un niveau de confiance de 95 %. On a alors \(\hat{p} = 0{,}40\), \(z = 1{,}95996\), \(z^{2} = 3{,}8415\). Le dénominateur vaut \(1 + 3{,}8415/100 = 1{,}038415\). Le centre est \((0{,}40 + 3{,}8415/200)/1{,}038415 = 0{,}41763/1{,}038415 = 0{,}40218\). La marge s'élève à \(1{,}95996\cdot\sqrt{0{,}40\cdot 0{,}60/100 + 3{,}8415/40000}/1{,}038415 = 1{,}95996\cdot\sqrt{0{,}00249604}/1{,}038415 = 0{,}09666\). L'intervalle s'étend donc d'environ 30,55 % à 49,88 %.
Valeurs z-critiques par niveau de confiance
L'intervalle de score de Wilson utilise une valeur critique bilatérale \(z\) de la distribution normale standard. Pour un niveau de confiance \(C\), la valeur est \(z = z_{1-\alpha/2}\) où \(\alpha = 1 - C\), de sorte que l'aire centrale égale \(C\) et chaque queue contient \(\alpha/2\). Les valeurs les plus couramment utilisées sont énumérées ci-dessous.
| Niveau de confiance | Aire de queue \(\alpha/2\) | z bilatéral |
|---|---|---|
| 80 % | 0,100 | 1,2816 |
| 90 % | 0,050 | 1,6449 |
| 95 % | 0,025 | 1,9600 |
| 98 % | 0,010 | 2,3263 |
| 99 % | 0,005 | 2,5758 |
| 99,9 % | 0,0005 | 3,2905 |
Ce sont des valeurs bilatérales : le même \(z\) est utilisé pour les limites inférieures et supérieures de Wilson. Un niveau de confiance plus élevé correspond à un \(z\) plus grand, ce qui élargit l'intervalle. Cette calculatrice offre les trois sélections les plus courantes — 90 % (1,6449), 95 % (1,9600) et 99 % (2,5758).
Interprétation de votre intervalle de confiance
Un niveau de confiance de 95 % décrit la performance à long terme de la procédure, et non une probabilité concernant votre intervalle unique. Si vous répétiez l'échantillonnage et calculiez un intervalle de Wilson à chaque fois, environ 95 % de ces intervalles contiendraient la vraie proportion de population \(p\). Pour l'intervalle unique que vous avez réellement calculé, le vrai \(p\) se trouve soit à l'intérieur, soit à l'extérieur ; le 95 % est une propriété de la méthode sur de nombreux échantillons hypothétiques, non la probabilité que cet intervalle spécifique ait capturé \(p\).
La largeur de l'intervalle reflète la précision. Un intervalle étroit indique que l'estimation est étroitement déterminée — généralement le résultat d'un grand nombre d'essais. Un intervalle large indique une plus grande incertitude, courante avec des petits échantillons ou des proportions proches de 0,5, où la variabilité binomiale est la plus grande. Lors de la comparaison de deux groupes, un intervalle beaucoup plus large signale que son estimation doit être traitée comme moins précise.
Lorsqu'une limite touche 0 ou 1, cela signifie que les données sont cohérentes avec des proportions allant jusqu'à 0 (ou jusqu'à 1). Cela se produit souvent lorsque le nombre observé est à un extrême — par exemple, 0 succès donne une limite inférieure exactement 0, et tous les succès observés donne une limite supérieure exactement 1. La limite opposée contient toujours de l'information : un résultat \(0/20\) exclut les proportions élevées même si la limite inférieure est 0. L'intervalle de Wilson est construit pour rester dans la plage valide \([0, 1]\), de sorte que de telles limites qui se touchent sont un comportement attendu plutôt qu'une erreur.
Ceci est une information statistique générale et n'est pas un conseil professionnel pour une analyse spécifique.
FAQ
Pourquoi privilégier Wilson plutôt que Wald ? L'intervalle de Wald peut sortir des limites [0, 1] et couvre mal la proportion réelle pour les petits n ; l'intervalle de Wilson reste dans [0, 1] et offre une bien meilleure couverture.
Quel niveau de confiance choisir ? Le seuil de 95 % est le plus courant par défaut ; optez pour 99 % lorsque vous avez besoin d'une plus grande certitude (intervalle plus large), ou pour 90 % afin d'obtenir un intervalle plus resserré.
Fonctionne-t-il pour des proportions de 0 ou de 100 % ? Oui : la méthode de Wilson produit des bornes cohérentes et non dégénérées même lorsque x = 0 ou x = n.
