什麼是二項分布信賴區間？
當你在 \(n\) 次試驗中觀察到 \(x\) 次成功時，樣本比例 \(\hat{p} = x/n\) 即是對真實成功機率的估計值。信賴區間則提供一個「很可能包含真實比例」的範圍。本計算器採用 Wilson Score（威爾遜分數）區間，相較於傳統的 Wald 法（常態近似法）更為精確，尤其在樣本數較小、或比例接近 0 或 1 時表現更佳。
使用方法
輸入成功次數、試驗總次數，並選擇所需的信賴水準（90%、95% 或 99%）。計算器會以百分比形式回傳區間的上下限，同時顯示樣本比例、區間中心、誤差範圍（半寬）以及所使用的 \(z\) 值。
公式說明
Wilson Score 區間會將估計值定錨在稍經調整的比例上，並在小樣本時將區間寬度向 0.5 收斂：
$$\text{CI} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$其中 \(z\) 為標準常態臨界值：90% 對應 \(1.6449\)、95% 對應 \(1.9600\)、99% 對應 \(2.5758\)。
實例演算
假設在 100 次試驗中有 40 次成功，信賴水準為 95%。則 \(\hat{p} = 0.40\)、\(z = 1.95996\)、\(z^{2} = 3.8415\)。分母為 \(1 + 3.8415/100 = 1.038415\)。中心值為 $$\frac{0.40 + 3.8415/200}{1.038415} = \frac{0.41763}{1.038415} = 0.40218.$$誤差範圍為 $$\frac{1.95996\cdot\sqrt{0.40\cdot 0.60/100 + 3.8415/40000}}{1.038415} = \frac{1.95996\cdot\sqrt{0.00249604}}{1.038415} = 0.09666.$$因此區間約為 30.55% 至 49.88%。
按信心水平的 Z 臨界值
威爾遜評分區間使用來自標準正態分布的雙側臨界值 \(z\)。對於信心水平 \(C\)，該值為 \(z = z_{1-\alpha/2}\)，其中 \(\alpha = 1 - C\)，使得中心區域等於 \(C\)，每條尾部保持 \(\alpha/2\)。最常用的值如下所示。
| 信心水平 | 尾部面積 \(\alpha/2\) | 雙側 \(z\) |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
這些是雙側值：相同的 \(z\) 用於威爾遜下界和上界。較高的信心水平對應於較大的 \(z\)，這會擴寬區間。此計算機提供三個最常見的選項——90%（1.6449）、95%（1.9600）和 99%（2.5758）。
解釋您的信心區間
95% 的信心水平描述了該程序的長期性能，而不是關於您的單個區間的概率。如果您重複相同的抽樣並每次計算威爾遜區間，那麼大約 95% 的這些區間將包含真實人口比例 \(p\)。對於您實際計算的一個區間，真實的 \(p\) 要麼在其中，要麼不在；95% 是該方法在許多假設樣本中的屬性，而不是該特定區間捕獲 \(p\) 的機會。
區間的寬度反映了精度。狹窄的區間表示估計值確定緊密——通常是大量試驗的結果。寬的區間表示更大的不確定性，在小樣本或接近 0.5 的比例中很常見，其中二項式變異性最大。比較兩個組時，寬度大得多的區間表示其估計應被視為精度較低。
當界限接觸 0 或 1 時，意味著數據與一直到 0（或最高 1）的比例一致。當觀察計數處於極端時，通常會發生這種情況——例如，0 次成功會給出正好 0 的下界，所有觀察到的成功會給出正好 1 的上界。相反的界限仍然包含信息：\(0/20\) 的結果排除了高比例，即使下界為 0。威爾遜區間的構造目的是保持在有效的 \([0, 1]\) 範圍內，因此這樣的觸及界限是預期的行為而不是錯誤。
這是一般統計信息，不是針對任何特定分析的專業建議。
常見問題
為什麼用 Wilson 而不用 Wald？ Wald 區間可能延伸到 0 以下或 1 以上，且在 \(n\) 很小時涵蓋率不足；Wilson 則始終落在 \([0,1]\) 範圍內，涵蓋表現更理想。
該選用哪一種信賴水準？ 95% 是最常用的預設值；需要更高把握時可用 99%（區間較寬），想要較窄區間則可選 90%。
比例為 0 或 100% 時也適用嗎？ 適用——即使 \(x = 0\) 或 \(x = n\)，Wilson 法仍能產生合理、非退化的上下限。
