Khoảng tin cậy nhị thức là gì?
Khi bạn ghi nhận được một số lần thành công (x) trong tổng số phép thử (n), thì tỉ lệ mẫu \(\hat{p} = x/n\) chính là ước lượng cho xác suất thành công thực sự ẩn phía sau. Khoảng tin cậy cho bạn một khoảng giá trị có nhiều khả năng chứa tỉ lệ thực đó. Công cụ này sử dụng khoảng Wilson score, vốn chính xác hơn khoảng Wald cổ điển (xấp xỉ chuẩn), đặc biệt với mẫu nhỏ hoặc khi tỉ lệ gần 0 hay gần 1.
Cách sử dụng
Bạn nhập số lần thành công, tổng số phép thử và chọn mức tin cậy (90%, 95% hoặc 99%). Công cụ sẽ trả về giới hạn dưới và giới hạn trên của khoảng dưới dạng phần trăm, kèm theo tỉ lệ mẫu, tâm của khoảng, biên sai số (nửa độ rộng) và giá trị z được dùng.
Giải thích công thức
Khoảng Wilson score đặt tâm ước lượng tại một tỉ lệ đã điều chỉnh đôi chút và kéo độ rộng hướng về 0,5 khi mẫu nhỏ:
$$\text{CI} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$Trong đó \(z\) là giá trị tới hạn của phân phối chuẩn tắc: 1,6449 cho 90%, 1,9600 cho 95% và 2,5758 cho 99%.
Ví dụ minh họa
Giả sử có 40 lần thành công trên 100 phép thử ở mức tin cậy 95%. Khi đó \(\hat{p} = 0{,}40\), \(z = 1{,}95996\), \(z^{2} = 3{,}8415\). Mẫu số là \(1 + 3{,}8415/100 = 1{,}038415\). Tâm khoảng là $$\frac{0{,}40 + 3{,}8415/200}{1{,}038415} = \frac{0{,}41763}{1{,}038415} = 0{,}40218.$$ Biên sai số là $$\frac{1{,}95996\cdot\sqrt{0{,}40\cdot 0{,}60/100 + 3{,}8415/40000}}{1{,}038415} = \frac{1{,}95996\cdot\sqrt{0{,}00249604}}{1{,}038415} = 0{,}09666.$$ Vậy khoảng tin cậy nằm trong khoảng từ 30,55% đến 49,88%.
Giá trị Z-Critical theo Mức độ Tin cậy
Khoảng Wilson score sử dụng một giá trị tới hạn hai phía \(z\) từ phân phối chuẩn. Với mức độ tin cậy \(C\), giá trị là \(z = z_{1-\alpha/2}\) trong đó \(\alpha = 1 - C\), sao cho diện tích trung tâm bằng \(C\) và mỗi đuôi chứa \(\alpha/2\). Các giá trị được sử dụng phổ biến nhất được liệt kê dưới đây.
| Mức độ tin cậy | Diện tích đuôi \(\alpha/2\) | \(z\) hai phía |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
Đây là các giá trị hai phía: cùng một \(z\) được sử dụng cho cả cận dưới và cận trên Wilson. Mức độ tin cậy cao hơn tương ứng với \(z\) lớn hơn, làm rộng khoảng. Máy tính này cung cấp ba lựa chọn phổ biến nhất — 90% (1.6449), 95% (1.9600) và 99% (2.5758).
Diễn giải Khoảng Tin cậy của Bạn
Mức độ tin cậy 95% mô tả hiệu suất dài hạn của phương pháp, không phải xác suất về khoảng duy nhất của bạn. Nếu bạn lặp lại cùng một lần lấy mẫu và tính toán một khoảng Wilson mỗi lần, khoảng 95% những khoảng đó sẽ chứa tỷ lệ dân số thực \(p\). Đối với một khoảng duy nhất bạn thực sự tính toán, \(p\) thực sự nằm bên trong nó hoặc không; 95% là một thuộc tính của phương pháp trên nhiều mẫu giả định, không phải cơ hội để khoảng cụ thể này nắm bắt \(p\).
Chiều rộng của khoảng phản ánh độ chính xác. Một khoảng hẹp cho biết ước tính được xác định chặt chẽ — thường là kết quả của một số lượng lớn các phép thử. Một khoảng rộng cho biết không chắc chắn lớn hơn, phổ biến với các mẫu nhỏ hoặc tỷ lệ gần 0.5, nơi biến thiên nhị thức lớn nhất. So sánh hai nhóm, một khoảng rộng hơn nhiều cho thấy rằng ước tính của nó nên được coi là kém chính xác hơn.
Khi một cận chạm 0 hoặc 1, điều đó có nghĩa là dữ liệu phù hợp với tỷ lệ cho tất cả các cách xuống 0 (hoặc lên tới 1). Điều này thường xảy ra khi số lượng quan sát ở mức cực đoan — ví dụ 0 thành công cho cận dưới chính xác là 0, và tất cả thành công quan sát cho cận trên chính xác là 1. Cận ngược lại vẫn mang thông tin: kết quả \(0/20\) loại trừ các tỷ lệ cao mặc dù cận dưới là 0. Khoảng Wilson được xây dựng để ở trong khoảng hợp lệ \([0, 1]\), vì vậy những cận chạm như vậy là hành vi mong đợi chứ không phải lỗi.
Đây là thông tin thống kê chung và không phải lời khuyên chuyên nghiệp cho bất kỳ phân tích cụ thể nào.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao dùng Wilson thay vì Wald? Khoảng Wald có thể vượt xuống dưới 0 hoặc lên trên 1 và phủ thiếu khi \(n\) nhỏ; còn Wilson luôn nằm trong [0,1] và có độ phủ tốt hơn.
Nên chọn mức tin cậy nào? 95% là lựa chọn mặc định phổ biến nhất; dùng 99% khi bạn cần độ chắc chắn cao hơn (khoảng rộng hơn), hoặc 90% khi muốn khoảng hẹp hơn.
Có dùng được khi tỉ lệ là 0% hoặc 100% không? Có — Wilson vẫn cho ra giới hạn hợp lý và không bị suy biến ngay cả khi \(x = 0\) hoặc \(x = n\).
