ما هي فترة الثقة لنسبة ذات الحدين؟
عندما تلاحظ عدداً من النجاحات (x) ضمن عدد من المحاولات (n)، فإن النسبة في العيّنة \(\hat{p} = x/n\) تُقدّر الاحتمال الحقيقي الكامن للنجاح. وتمنحك فترة الثقة مجالاً يُرجَّح أن يحتوي تلك النسبة الحقيقية. تعتمد هذه الحاسبة على فترة ويلسون (Wilson score interval)، وهي أدق من فترة فالد (Wald) الكلاسيكية المبنية على التقريب الطبيعي، خاصةً مع العيّنات الصغيرة أو النسب القريبة من 0 أو 1.
كيفية الاستخدام
أدخل عدد النجاحات، والعدد الإجمالي للمحاولات، ثم اختر مستوى الثقة (90% أو 95% أو 99%). تعرض الحاسبة الحدّ الأدنى والحدّ الأعلى للفترة كنسب مئوية، إلى جانب نسبة العيّنة، ومركز الفترة، والهامش (نصف العرض)، وقيمة \(z\) المستخدَمة.
شرح الصيغة
تُركّز فترة ويلسون التقدير على نسبة معدَّلة قليلاً، وتقلّص العرض باتجاه 0.5 في العيّنات الصغيرة:
$$\text{CI} = \frac{\hat{p} + \dfrac{z^{2}}{2n} \pm z\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n} + \dfrac{z^{2}}{4n^{2}}}}{1 + \dfrac{z^{2}}{n}}$$حيث \(z\) هي القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي المعياري: \(1.6449\) لمستوى 90%، و\(1.9600\) لمستوى 95%، و\(2.5758\) لمستوى 99%.
مثال محلول
لنفترض وجود 40 نجاحاً من أصل 100 محاولة عند مستوى ثقة 95%. عندها \(\hat{p} = 0.40\)، و\(z = 1.95996\)، و\(z^{2} = 3.8415\). المقام يساوي \(1 + 3.8415/100 = 1.038415\). والمركز هو $$(0.40 + 3.8415/200)/1.038415 = 0.41763/1.038415 = 0.40218.$$ والهامش هو $$1.95996\cdot\sqrt{0.40\cdot 0.60/100 + 3.8415/40000}/1.038415 = 1.95996\cdot\sqrt{0.00249604}/1.038415 = 0.09666.$$ وبالتالي تكون الفترة قرابة 30.55% إلى 49.88%.
قيم z الحرجة حسب مستوى الثقة
يستخدم فترة Wilson score قيمة حرجة ثنائية الجانب \(z\) من التوزيع الطبيعي القياسي. لمستوى ثقة \(C\)، القيمة هي \(z = z_{1-\alpha/2}\) حيث \(\alpha = 1 - C\)، بحيث تساوي المنطقة المركزية \(C\) ويحتفظ كل ذيل بـ \(\alpha/2\). القيم الأكثر استخداماً مدرجة أدناه.
| مستوى الثقة | منطقة الذيل \(\alpha/2\) | z ثنائي الجانب |
|---|---|---|
| 80% | 0.100 | 1.2816 |
| 90% | 0.050 | 1.6449 |
| 95% | 0.025 | 1.9600 |
| 98% | 0.010 | 2.3263 |
| 99% | 0.005 | 2.5758 |
| 99.9% | 0.0005 | 3.2905 |
هذه قيم ثنائية الجانب: يتم استخدام نفس \(z\) لكل من الحدود الدنيا والعليا في Wilson. يتطابق مستوى ثقة أعلى مع \(z\) أكبر، مما يوسع الفترة. تقدم هذه الحاسبة الثلاث خيارات الأكثر شيوعاً — 90% (1.6449)، 95% (1.9600) و99% (2.5758).
تفسير فترة الثقة الخاصة بك
يصف مستوى ثقة 95% الأداء طويل الأجل للإجراء، وليس احتمالاً حول الفترة الواحدة الخاصة بك. إذا كررت نفس العينة وحسبت فترة Wilson في كل مرة، فإن حوالي 95% من تلك الفترات ستحتوي على نسبة السكان الحقيقية \(p\). بالنسبة للفترة الواحدة التي حسبتها فعلياً، النسبة الحقيقية \(p\) إما بداخلها أو خارجها؛ النسبة 95% هي خاصية للطريقة عبر العديد من العينات الافتراضية، وليست فرصة أن هذه الفترة المحددة التقطت \(p\).
يعكس عرض الفترة الدقة. تشير الفترة الضيقة إلى أن التقدير محدد بإحكام — عادة ما تكون نتيجة عدد كبير من المحاولات. تشير الفترة العريضة إلى عدم اليقين الأكبر، وهو شائع مع العينات الصغيرة أو النسب القريبة من 0.5، حيث تكون التباينية ذات الحدين الأكبر. عند مقارنة مجموعتين، الفترة التي تكون أوسع بكثير تشير إلى أن تقديرها يجب أن يتم التعامل معه باعتباره أقل دقة.
عندما يلامس الحد 0 أو 1، فهذا يعني أن البيانات متسقة مع النسب كل الطريق إلى 0 (أو حتى 1). يحدث هذا غالباً عندما تكون العدد المرصود في الحد الأقصى — على سبيل المثال 0 نجاح يعطي حد أدنى بالضبط 0، وجميع النجاحات المرصودة يعطي حد أعلى بالضبط 1. الحد المعاكس لا يزال يحمل معلومات: نتيجة \(0/20\) تستبعد النسب العالية حتى على الرغم من أن الحد الأدنى هو 0. يتم بناء فترة Wilson للبقاء ضمن النطاق الصحيح \([0, 1]\)، لذلك فإن هذه الحدود اللاصقة هي السلوك المتوقع وليست خطأ.
هذه معلومات إحصائية عامة وليست نصيحة مهنية لأي تحليل محدد.
الأسئلة الشائعة
لماذا نستخدم ويلسون بدل فالد؟ قد تمتد فترة فالد إلى ما دون 0 أو فوق 1، كما أن تغطيتها تكون ناقصة عند العيّنات الصغيرة؛ أما ويلسون فتبقى ضمن المجال [0,1] وتقدّم تغطية أفضل.
ما مستوى الثقة الذي ينبغي اختياره؟ يُعدّ 95% الخيار الافتراضي الأكثر شيوعاً؛ استخدم 99% عندما تحتاج إلى يقين أعلى (فترة أوسع)، أو 90% للحصول على فترة أضيق.
هل تصلح للنسب 0% أو 100%؟ نعم — تنتج طريقة ويلسون حدوداً منطقية وغير منحلّة حتى عندما يكون \(x = 0\) أو \(x = n\).
