什麼是 95% 信賴區間？
95% 信賴區間是根據樣本資料計算出來的一段數值範圍，這段範圍很有可能涵蓋母體的真實均值。所謂「95% 信心水準」，意思是如果你把同樣的抽樣流程重複很多次，大約會有 95% 所建構出的區間能夠成功捕捉到真正的均值。從科學研究、問卷調查、醫學試驗到商業分析，信賴區間都是最常被引用的統計量之一。
如何使用本計算器
請輸入三個數值：樣本均值（\(\bar{x}\)）、樣本標準差（\(s\)）以及樣本數（\(n\)）。計算器會回傳區間的下界與上界，並附上標準誤與誤差範圍，讓你清楚看到結果是怎麼一步步算出來的。
公式拆解
信賴區間的計算公式為 $$CI = \bar{x} \pm 1.96 \cdot \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$ 其中 \(s / \sqrt{n}\) 是均值的標準誤——樣本數愈大，標準誤就愈小，估計也就愈精確。常數 1.96 則是 z 分數，對應標準常態分布中央 95% 的範圍。把標準誤乘上 1.96 就得到誤差範圍，再分別加減到均值上，便構成整個區間。
實例演算
假設某樣本的均值為 100、標準差為 15、共有 36 筆觀測值。標準誤為 $$\frac{15}{\sqrt{36}} = \frac{15}{6} = 2.5$$ 誤差範圍為 $$1.96 \times 2.5 = 4.9$$ 因此 95% 信賴區間就是 \(100 \pm 4.9\)，也就是 95.1 到 104.9。
常見信心水準的Z分數
平均值的信心區間使用從標準常態分佈中取得的臨界值（z分數）。對於雙尾區間，選定的信心水準在組合尾部面積中留下 \(\alpha = 1 - \text{CL}\)，平均分配到每個尾部（\(\alpha/2\)）。95% 區間 — 這個計算器計算的區間 — 使用熟悉的值 \(z = 1.960\)，在每個尾部中留下 2.5%。
| 信心水準 | 雙尾z分數 | 總尾部面積（\(\alpha\)） | 每個尾部的面積（\(\alpha/2\)） |
|---|---|---|---|
| 80% | 1.282 | 0.20 | 0.100 |
| 90% | 1.645 | 0.10 | 0.050 |
| 95% | 1.960 | 0.05 | 0.025 |
| 98% | 2.326 | 0.02 | 0.010 |
| 99% | 2.576 | 0.01 | 0.005 |
這些z分數假設母體標準差已知，或樣本足夠大使得常態近似成立。對於帶有估計標準差的小樣本，t分佈臨界值（更大）更為適當。
常見問題
為什麼是 1.96 而不是 2？在常態分布下，1.96 才是對應 95% 信心水準的精確 z 值；取整後的 2 只是方便心算的近似值。
該用 z 分布還是 t 分布？當樣本數較大、或已知母體標準差時，使用 z 分數（1.96）較為合適。若樣本數較小（\(n < 30\)）且母體標準差未知，則改用 t 分布，會得到稍寬但更準確的區間。
區間較寬代表什麼？區間愈寬，代表不確定性愈高——通常源自樣本太小或資料變異性太大。樣本數愈大，區間就愈窄、估計也愈精確。
