माध्य के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

सैंपल माध्य (x̄)

सैंपल मानक विचलन (s)

सैंपल आकार (n)

कॉन्फिडेंस स्तर 90% 95% 99%

परिणाम

कॉन्फिडेंस इंटरवल

94.3989  to  105.6011

margin of error ± 5.6011

मार्जिन ऑफ एरर	5.601092
क्रिटिकल t मान	2.04523
मानक त्रुटि (s/√n)	2.738613
Degrees of freedom (स्वतंत्रता की कोटि)	29

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल आपके सैंपल डेटा से जनसंख्या माध्य (population mean) के लिए कॉन्फिडेंस इंटरवल तैयार करता है। जब जनसंख्या का मानक विचलन (standard deviation) पता न हो — और व्यवहार में लगभग हमेशा ऐसा ही होता है — तो सही तरीका normal (z) डिस्ट्रिब्यूशन के बजाय Student-t डिस्ट्रिब्यूशन का उपयोग करना है। यह इंटरवल आपके चुने हुए कॉन्फिडेंस स्तर पर असली माध्य के लिए एक संभावित रेंज बताता है।

इसका उपयोग कैसे करें

सैंपल माध्य (\(\bar{x}\)), सैंपल मानक विचलन (\(s\)), सैंपल आकार (\(n\)) दर्ज करें और 90%, 95% या 99% में से कॉन्फिडेंस स्तर चुनें। कैलकुलेटर आपको निचली और ऊपरी सीमा, मार्जिन ऑफ एरर, क्रिटिकल t मान, मानक त्रुटि (standard error) और स्वतंत्रता की कोटि यानी degrees of freedom (\(n - 1\)) बताता है।

फ़ॉर्मूला समझें

इंटरवल का सूत्र है

$$\text{CI} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,df}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}$$

यहाँ \(s/\sqrt{n}\) माध्य की मानक त्रुटि (standard error of the mean) है, जो बताती है कि सैंपल माध्य के असली माध्य से कितना अलग होने की संभावना है। क्रिटिकल मान \(t\), degrees of freedom (\(n - 1\)) और चुने हुए कॉन्फिडेंस स्तर पर निर्भर करता है। मानक त्रुटि को \(t\) से गुणा करने पर मार्जिन ऑफ एरर मिलता है, जिसे सैंपल माध्य में जोड़ा और घटाया जाता है।

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विश्वास अंतराल t-वितरण के केंद्रीय क्षेत्र को घेरता है, प्रत्येक पुच्छ में \(\alpha/2\) छोड़ता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए \(\bar{x} = 100\), \(s = 15\), \(n = 30\) और कॉन्फिडेंस स्तर 95% है। मानक त्रुटि होगी \(15/\sqrt{30} \approx 2.7386\)। 29 degrees of freedom के साथ क्रिटिकल \(t \approx 2.0452\) आता है, इसलिए मार्जिन ऑफ एरर लगभग 5.601 होगा। इस प्रकार 95% कॉन्फिडेंस इंटरवल लगभग 94.40 से 105.60 तक बनता है।

विश्वास अंतराल प्रतिदर्श माध्य पर केंद्रित होता है और दोनों दिशाओं में त्रुटि सीमा तक फैलता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

z के बजाय t का उपयोग कब करें? जब भी जनसंख्या का मानक विचलन अज्ञात हो और आप उसे सैंपल से अनुमानित करते हों, तब t डिस्ट्रिब्यूशन का उपयोग करें — असल दुनिया के ज़्यादातर डेटासेट में यही स्थिति होती है। बड़े \(n\) पर t और z के मान लगभग बराबर हो जाते हैं।

95% कॉन्फिडेंस का मतलब क्या है? अगर आप कई बार सैंपलिंग दोहराएँ और हर बार एक इंटरवल बनाएँ, तो उनमें से लगभग 95% इंटरवल में असली जनसंख्या माध्य मौजूद होगा।

क्या इसमें डेटा का normal होना ज़रूरी है? t इंटरवल यह मानकर चलता है कि डेटा लगभग normal है, या सैंपल इतना बड़ा है कि central limit theorem लागू हो सके।