यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल सफलताओं की संख्या और कुल नमूना आकार से जनसंख्या अनुपात के लिए विश्वास अंतराल (confidence interval) की गणना करता है। यह सामान्य (Wald) सन्निकटन का उपयोग करता है, जो प्रारंभिक सांख्यिकी में सबसे अधिक पढ़ाई जाने वाली विधि है, और आपके चुने हुए विश्वास स्तर (90%, 95% या 99%) पर अंतराल बताता है।
इसका उपयोग कैसे करें
सफलताओं की संख्या (x) दर्ज करें — उदाहरण के लिए, जिन लोगों ने "हाँ" कहा उनकी संख्या — और नमूना आकार (n) डालें। एक विश्वास स्तर चुनें, और कैलकुलेटर आपको नमूना अनुपात, मानक त्रुटि, त्रुटि की सीमा (margin of error), तथा अंतराल की निचली और ऊपरी सीमाएँ बता देगा।
सूत्र की व्याख्या
नमूना अनुपात \(\hat{p} = x/n\) होता है। मानक त्रुटि \(SE = \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})/n}\) है। त्रुटि की सीमा निकालने के लिए SE को क्रांतिक z-मान से गुणा करें (90% के लिए 1.645, 95% के लिए 1.96, 99% के लिए 2.576), फिर इसे \(\hat{p}\) में जोड़ें और घटाएँ:
$$CI = \hat{p} \pm z \cdot SE$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए सर्वे किए गए 100 ग्राहकों में से 80 संतुष्ट हैं। तब \(\hat{p} = 0.80\) और $$SE = \sqrt{0.80 \times 0.20 / 100} = \sqrt{0.0016} = 0.04$$ होगा। 95% विश्वास स्तर पर, त्रुटि की सीमा \(= 1.96 \times 0.04 = 0.0784\)। अंतराल होगा \(0.80 \pm 0.0784 = (0.7216, 0.8784)\), यानी लगभग 72.16% से 87.84% तक।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
95% विश्वास अंतराल का क्या अर्थ है? यदि आप नमूना लेने की प्रक्रिया को कई बार दोहराएँ, तो इस तरह बने लगभग 95% अंतरालों में वास्तविक जनसंख्या अनुपात समाहित होगा।
Wald विधि कब मान्य है? यह तब अच्छा काम करती है जब \(n\hat{p}\) और \(n(1-\hat{p})\) दोनों कम से कम लगभग 5–10 हों। बहुत छोटे नमूनों या 0 या 1 के पास के अनुपातों के लिए, Wilson या Clopper–Pearson अंतराल पर विचार करें।
मेरा अंतराल 0 या 1 पर क्यों काट दिया गया है? कोई भी अनुपात 0 से कम या 1 से अधिक नहीं हो सकता, इसलिए इस सीमा के बाहर के मान काट दिए जाते हैं।
