%90 Güven Aralığı Hesaplama Aracı (z = 1,645)

Örneklem Ortalaması (x̄)	100
Standart Hata (s/√n)	2,7386
Hata Payı	± 4,505

%90 Güven Aralığı Nedir?

%90 güven aralığı, örneklem verilerinden hesaplanan ve tekrarlanan örneklemlerin %90'ında gerçek anakütle ortalamasını içermesi beklenen bir değer aralığıdır. Örnekleme kaynaklı değişkenliği hesaba kattığı için, tek bir nokta tahmininden daha geniştir. "%90" ifadesi güven düzeyini belirtir; standart normal (z) dağılımı kullanıldığında bu düzey 1,645 z kritik değerine karşılık gelir.

Merkez bölgesi ve kuyrukları gölgelendirilmiş normal dağılım eğrisi — %90 güven aralığı dağılımın merkezdeki %90'ını kapsar ve her kuyrukta %5 bırakır.

Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?

Üç değer girin: örneklem ortalaması ($\bar{x}$), örneklem standart sapması ($s$) ve örneklem büyüklüğü ($n$). Araç; standart hatayı, hata payını ve aralığın alt ile üst sınırlarını hesaplar. z tabanlı bu sürüm, büyük bir örneklem (genellikle $n \geq 30$) veya bilinen bir anakütle standart sapması varsayar. Varyansın bilinmediği küçük örneklemlerde t aralığı daha uygundur.

Formülün Açıklaması

Aralık şöyle hesaplanır:

$$CI = \bar{x} \pm 1{,}645 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}$$

Buradaki $s/\sqrt{n}$ terimi ortalamanın standart hatasıdır; örneklem büyüdükçe küçülür ve aralığı daraltır. Bu değeri 1,645 z skoru ile çarpmak hata payını verir; bu pay ortalamaya eklenip ortalamadan çıkarılarak sınırlar elde edilir.

Reklam

Örneklem ortalaması çevresinde sayı doğrusu üzerinde gösterilen güven aralığı sınırları — Aralık, örneklem ortalamasının altına ve üstüne birer hata payı kadar uzanır.

Çözümlü Örnek

Diyelim ki $\bar{x} = 100$, $s = 15$ ve $n = 30$ olsun. Standart hata $$\frac{15}{\sqrt{30}} \approx 2{,}7386$$ Hata payı $$1{,}645 \times 2{,}7386 \approx 4{,}5051$$ olur. Böylece %90 güven aralığı $100 \pm 4{,}5051$, yani yaklaşık olarak 95,49 ile 104,51 arasındadır.

Yaygın Güven Seviyeleri için Z-Kritik Değerleri

Bir ortalama için güven aralığı (popülasyon standart sapması bilindiğinde veya örnek büyük olduğunda) $\text{GS} = \bar{x} \pm z^* \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$ şeklini alır; burada $z^*$ iki yönlü z-kritik değerdir. Kritik değer yalnızca seçilen güven seviyesine bağlıdır: daha yüksek bir güven seviyesi kuyrukta daha az olasılık bırakır ve bu nedenle daha büyük bir $z^*$ kullanır.

%90 aralık için kuyruklar birlikte alanın $1 - 0.90 = 0.10$ kısmını tutar, her bir taraf için $0.05$ olarak bölünür; bu $z^* = 1.645$ değerine karşılık gelir. Aşağıdaki tablo standart değerleri listeler.

Güven seviyesi	Taraf başına kuyruk alanı ($\alpha/2$)	İki yönlü z-kritik ($z^*$)
%80	0.100	1.282
%90	0.050	1.645
%95	0.025	1.960
%98	0.010	2.326
%99	0.005	2.576

Aynı veriler için farklı bir seviye gerekirse, %95 aralık veya %99 aralık araçlarıyla hesaplamayı yeniden çalıştırabilirsiniz; bunlar sırasıyla $z^* = 1.960$ ve $2.576$ değerlerini kullanır.

Reklam

Güven Aralığınızı Yorumlama

Standart (sıklık) tanımı altında, %90 güven aralığı tek bir aralığı değil bir prosedürü tanımlar. Birçok bağımsız rastgele örnek çekseydiniz ve her birinden %90 aralık inşa etseydiniz, bu aralıkların yaklaşık %90'ı gerçek popülasyon ortalamasını içerirdi. %90, yöntemin uzun vadeli kapsama oranıdır.

Bu nedenle "gerçek ortalama bu belirli aralığın içinde %90 olasılıkla yer alır" demek yanlıştır. Verileriniz toplandıktan sonra sınırlar sabit sayılardır ve gerçek ortalama ya içlerinde ya da içlerinde değildir — olasılık ifadesi tekrarlanan prosedüre uygulanır, sizin önünüzdeki tek aralığa değil.

Bir sonuç rapor etmek için nokta tahmini, aralığı ve seviyeyi belirtin — örneğin: "örnek ortalama 100 idi, %90 GA [97.00, 103.00]." Bunu eşdeğer olarak tahmin $\pm$ hata payı olarak yazabilirsiniz, ör. $100 \pm 3.00$.

Dar bir aralık daha hassas bir tahmini gösterir. Daha büyük örnek boyutundan, verideki daha düşük değişkenlikten veya daha düşük bir güven seviyesinden kaynaklanır.
Geniş bir aralık daha fazla belirsizliği yansıtır — küçük bir örnek, yüksek değişken veriler veya %95 veya %99 gibi daha yüksek bir güven seviyesi talep etmekten.

Aynı veriler için daha yüksek bir güven seviyesi seçmek (daha büyük bir $z^*$ kullanarak) aralığı genişletir: kesinlik için kapsama güvencesini değiştirir. Bu ödünleşimi görmek için aynı örneği %95 seviyesinde karşılaştırın. Ayrıca z-tabanlı aralık bilinir bir standart sapma veya büyük bir örnek varsayar; bilinmeyen standart sapmalı küçük örnekler için, t-dağılımı kritik değeri daha uygun olur.

Sıkça Sorulan Sorular

z skoru neden 1,645? Bu değer, standart normal dağılımın her iki kuyruğunda %5 (toplamda %10) bırakan değerdir; ortadaki %90'lık alana karşılık gelir.

z mi yoksa t mi kullanmalıyım? Büyük örneklemler veya bilinen anakütle standart sapması için z (1,645) kullanın. Standart sapmanın tahmin edildiği küçük örneklemlerde ise $n-1$ serbestlik dereceli t dağılımını kullanın.

Aralığı nasıl daraltabilirim? Örneklem büyüklüğünü artırın veya değişkenliği azaltın. Daha büyük bir $n$, standart hatayı küçültür ve aralığı daraltır.