Что считает этот калькулятор
Этот инструмент находит единственную точку (x, y), в которой две прямые пересекаются на координатной плоскости. Каждая прямая задаётся в общем виде: \(a_1x + b_1y = c_1\) и \(a_2x + b_2y = c_2\). Введите шесть коэффициентов — и калькулятор мгновенно решит систему, показав, пересекаются ли прямые в одной точке, параллельны ли они (пересечения нет) или совпадают (бесконечно много точек).
Как пользоваться
Приведите каждую прямую к виду \(ax + by = c\). Например, уравнение с угловым коэффициентом \(y = 2x + 1\) превращается в \(-2x + 1y = 1\) (то есть \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = 1\)). Впишите значения a, b и c для обеих прямых в соответствующие поля — и сразу увидите точку пересечения. Отрицательные и дробные коэффициенты тоже поддерживаются.
Разбор формулы
Система решается по правилу Крамера. Ключевая величина — определитель \(D = a_1 b_2 - a_2 b_1\). Если \(D \neq 0\), решение единственное:
$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$Если же \(D = 0\), у прямых одинаковый наклон: при пропорциональности уравнений они совпадают, в противном случае параллельны и никогда не пересекаются.
Пример решения
Возьмём прямую 1: \(x + y = 5\) и прямую 2: \(x - y = 1\). Здесь \(a_1=1\), \(b_1=1\), \(c_1=5\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\). Определитель равен \((1)(-1) - (1)(1) = -2\). Тогда
$$x = \frac{5\cdot(-1) - 1\cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3 \quad \text{и} \quad y = \frac{1\cdot 1 - 1\cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$Прямые пересекаются в точке (3, 2).
Частые вопросы
А если прямые параллельны? Определитель равен нулю, а уравнения не пропорциональны — значит, точки пересечения нет, и калькулятор сообщит «параллельны».
Что значит «совпадают»? Оба уравнения описывают одну и ту же прямую, поэтому каждая её точка является точкой пересечения. И основной, и вспомогательные определители при этом равны нулю.
Можно ли использовать форму с угловым коэффициентом? Да — просто преобразуйте \(y = mx + b\) в \(-mx + y = b\), получив \(a = -m\), \(b = 1\), \(c = b\).
