दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

a₁

b₁

c₁

रेखा 1: a₁x + b₁y = c₁

a₂

b₂

c₂

रेखा 2: a₂x + b₂y = c₂

परिणाम

प्रतिच्छेदन बिंदु

(3, 2)

वह (x, y) बिंदु जहाँ दोनों रेखाएँ काटती हैं

x-निर्देशांक	3
y-निर्देशांक	2
सारणिक (a₁b₂ − a₂b₁)	-2

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल वह एकमात्र बिंदु (x, y) ढूँढता है जहाँ निर्देशांक तल (coordinate plane) पर दो सरल रेखाएँ आपस में काटती हैं। हर रेखा को व्यापक रूप (general form) में लिखा जाता है: \(a_1 x + b_1 y = c_1\) और \(a_2 x + b_2 y = c_2\)। आप छह गुणांक भरें और कैलकुलेटर तुरंत समीकरण-निकाय हल कर देता है — यह बता देता है कि रेखाएँ किसी एक बिंदु पर मिलती हैं, समानांतर हैं (कोई प्रतिच्छेदन नहीं), या एक ही रेखा हैं (अनगिनत बिंदु)।

दो असमांतर रेखाएँ ठीक एक प्रतिच्छेद बिंदु पर मिलती हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

हर रेखा को \(ax + by = c\) के रूप में फिर से लिखें। उदाहरण के लिए, ढाल-अंतःखंड रूप (slope-intercept) वाली रेखा \(y = 2x + 1\) बन जाती है \(-2x + 1y = 1\) (यानी \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = 1\))। दोनों रेखाओं के लिए \(a\), \(b\) और \(c\) के मान संबंधित खानों में भरें और प्रतिच्छेदन बिंदु पढ़ लें। ऋणात्मक और दशमलव गुणांक पूरी तरह समर्थित हैं।

सूत्र की व्याख्या

इस निकाय को क्रैमर के नियम (Cramer's rule) से हल किया जाता है। सबसे अहम राशि है सारणिक (determinant) \(D = a_1 b_2 - a_2 b_1\)। जब \(D \neq 0\) हो, तो ठीक एक हल मिलता है:

$$x = \frac{c_1\,b_2 - c_2\,b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1\,c_2 - a_2\,c_1}{D}$$

जब \(D = 0\) हो, तो दोनों रेखाओं की ढाल समान होती है: यदि समीकरण समानुपाती हैं तो रेखाएँ एक-दूसरे के ऊपर पड़ती हैं, अन्यथा वे समानांतर रहती हैं और कभी नहीं मिलतीं।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए रेखा 1: \(x + y = 5\) और रेखा 2: \(x - y = 1\)। यहाँ \(a_1=1\), \(b_1=1\), \(c_1=5\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\) हैं। सारणिक होगा \((1)(-1) - (1)(1) = -2\)। फिर

$$x = \frac{5\cdot(-1) - 1\cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$$$$y = \frac{1\cdot 1 - 1\cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$

यानी दोनों रेखाएँ (3, 2) पर काटती हैं।

हल किया गया उदाहरण: प्रतिच्छेद बिंदु से प्रत्येक अक्ष तक धराशायी निर्देशक रेखाएँ गिरती हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर रेखाएँ समानांतर हों तो? ऐसे में सारणिक शून्य होता है और समीकरण समानुपाती नहीं होते, इसलिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं मिलता — कैलकुलेटर "समानांतर" दर्शाता है।

संपाती (coincident) का क्या अर्थ है? दोनों समीकरण एक ही रेखा को बताते हैं, इसलिए उस रेखा का हर बिंदु एक प्रतिच्छेदन है। ऐसे में सारणिक और सहायक सारणिक सभी शून्य होते हैं।

क्या मैं ढाल-अंतःखंड रूप इस्तेमाल कर सकता हूँ? हाँ — बस \(y = mx + b\) को \(-mx + y = b\) में बदल लें, जिससे \(a = -m\), \(b = 1\), \(c = b\) मिलते हैं।