À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine l'unique point (x, y) où deux droites se croisent dans le plan cartésien. Chaque droite s'écrit sous sa forme générale : \(a_1x + b_1y = c_1\) et \(a_2x + b_2y = c_2\). Saisissez les six coefficients et le calculateur résout le système instantanément : il vous indique si les droites se coupent en un seul point, si elles sont parallèles (aucune intersection) ou si elles sont confondues (une infinité de points communs).
Mode d'emploi
Réécrivez chaque droite sous la forme \(ax + by = c\). Par exemple, la droite \(y = 2x + 1\) (forme réduite) devient \(-2x + 1y = 1\) (soit \(a = -2\), \(b = 1\), \(c = 1\)). Renseignez les valeurs \(a\), \(b\) et \(c\) des deux droites dans les champs prévus, puis lisez directement le point d'intersection. Les coefficients négatifs et décimaux sont entièrement pris en charge.
La formule expliquée
Le système se résout à l'aide de la règle de Cramer. L'élément clé est le déterminant \(D = a_1b_2 - a_2b_1\). Lorsque \(D \neq 0\), il existe une solution unique :
$$x = \frac{c_1 b_2 - c_2 b_1}{D}, \quad y = \frac{a_1 c_2 - a_2 c_1}{D}$$Lorsque \(D = 0\), les droites ont la même pente : si les équations sont proportionnelles, les droites sont confondues ; sinon, elles sont parallèles et ne se rencontrent jamais.
Exemple résolu
Prenons la droite 1 : \(x + y = 5\) et la droite 2 : \(x - y = 1\). On a donc \(a_1=1\), \(b_1=1\), \(c_1=5\), \(a_2=1\), \(b_2=-1\), \(c_2=1\). Le déterminant vaut
$$D = (1)(-1) - (1)(1) = -2$$On obtient alors
$$x = \frac{5\cdot(-1) - 1\cdot 1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3, \quad y = \frac{1\cdot 1 - 1\cdot 5}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$Les deux droites se croisent au point (3, 2).
FAQ
Que se passe-t-il si les droites sont parallèles ? Le déterminant est nul et les équations ne sont pas proportionnelles : il n'y a donc aucun point d'intersection — le calculateur affiche « parallèles ».
Que signifie « confondues » ? Les deux équations décrivent la même droite : chacun de ses points est donc une intersection. Le déterminant principal et les déterminants secondaires sont tous nuls.
Puis-je utiliser la forme réduite (\(y = mx + b\)) ? Oui — il suffit de convertir \(y = mx + b\) en \(-mx + y = b\), ce qui donne \(a = -m\), \(b = 1\), \(c = b\).
