À quoi sert ce calculateur
Cet outil détermine la distance la plus courte (la distance minimale) entre deux droites dans l'espace à trois dimensions. Chaque droite est décrite par un point par lequel elle passe, \(P = (a, b, c)\), et par un vecteur directeur \(V = (p, q, r)\) qui lui est parallèle — précisément les données de la forme symétrique \((x-a)/p = (y-b)/q = (z-c)/r\). Il s'agit d'un outil de géométrie analytique pure, valable partout, sans unités ni règles propres à un pays.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coordonnées du point P1 et les trois composantes du vecteur directeur V1 de la première droite, puis faites de même pour la seconde droite. Cliquez sur « calculer ». Le résultat affiche la distance la plus courte et indique si les deux droites sont sécantes, gauches, parallèles ou confondues. Tout vecteur directeur égal à \((0, 0, 0)\) est refusé, car il ne définit aucune droite.
La formule expliquée
Posons \(\vec{W} = \text{P2} - \text{P1}\), le vecteur reliant un point de chaque droite, et \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2}\), le produit vectoriel des deux directions. Lorsque les droites ne sont pas parallèles, la distance la plus courte vaut la valeur absolue du produit mixte divisée par la norme de \(\vec{N}\) :
$$d = \frac{\left| \vec{W} \cdot \vec{N} \right|}{\left| \vec{N} \right|}$$Si ce résultat est nul, les droites sont sécantes ; sinon, elles sont gauches (elles ne se rencontrent jamais sans pour autant être parallèles). Lorsque \(\vec{V_1}\) et \(\vec{V_2}\) sont colinéaires (l'un est un multiple scalaire de l'autre), \(\vec{N}\) est le vecteur nul : le calculateur bascule alors sur la formule de distance d'un point à une droite,
$$d = \frac{\left| \vec{W} \times \vec{V_1} \right|}{\left| \vec{V_1} \right|}$$Un résultat nul signifie alors que les deux droites sont confondues.
Exemple résolu
Prenons \(\text{P1} = (-1, 2, 0)\), \(\vec{V_1} = (2, 3, 1)\) et \(\text{P2} = (3, -4, 1)\), \(\vec{V_2} = (1, 2, 1)\). On obtient \(\vec{W} = (4, -6, 1)\) et \(\vec{N} = \vec{V_1} \times \vec{V_2} = (1, -1, 1)\) avec \(\left| \vec{N} \right| = \sqrt{3} = 1{,}7320508\). Le produit scalaire \(\vec{W} \cdot \vec{N} = 4 + 6 + 1 = 11\), d'où
$$d = \frac{11}{\sqrt{3}} = 6{,}350853$$La distance n'étant pas nulle, les deux droites sont gauches.
FAQ
Que signifie « droites gauches » ? Les droites gauches sont des droites de l'espace 3D qui ne sont ni parallèles ni sécantes : elles se croisent à distance, en gardant entre elles une distance minimale fixe.
Pourquoi la distance est-elle nulle ? Une distance nulle signifie que les droites ont au moins un point commun : soit elles sont sécantes, soit, si elles sont parallèles, il s'agit d'une seule et même droite.
La longueur des vecteurs directeurs a-t-elle une importance ? Non. Multiplier un vecteur directeur par un scalaire ne change pas la droite, et la formule normalise par la norme concernée : la distance reste inchangée.
