Qu'est-ce qu'un nombre triangulaire ?
Un nombre triangulaire correspond au nombre d'objets que l'on peut disposer en triangle équilatéral. Le n-ième nombre triangulaire, noté \(T(n)\), est la somme de tous les entiers positifs de 1 jusqu'à n. La suite débute par 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 — chaque terme ajoute l'entier suivant. Ce calculateur vous donne \(T(n)\) pour n'importe quel entier naturel que vous saisissez.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez le numéro de terme n (par exemple 10) dans le champ, puis validez. Le calculateur affiche aussitôt le nombre triangulaire, qui correspond aussi au total obtenu en additionnant tous les entiers de 1 à n. Entrez 0 et vous obtenez 0, puisqu'il n'y a rien à additionner.
La formule expliquée
La formule explicite est $$T(n) = \frac{n(n+1)}{2}.$$ Plutôt que d'additionner les nombres un à un, vous multipliez n par l'entier suivant \((n+1)\) et vous divisez le résultat par deux. Cela fonctionne car, en associant le premier et le dernier terme, puis le deuxième et l'avant-dernier, et ainsi de suite, on obtient toujours la même somme égale à \((n+1)\), et il existe \(n/2\) paires de ce type. L'anecdote selon laquelle Carl Friedrich Gauss aurait découvert ce principe étant écolier, en additionnant les nombres de 1 à 100 pour trouver 5050, est célèbre — et vous pouvez le vérifier : \(100 \times 101 / 2 = 5050\).
Exemple détaillé
Supposons n = 10. Alors $$T(10) = \frac{10 \times (10 + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = \frac{110}{2} = 55.$$ La somme \(1 + 2 + 3 + \dots + 10\) vaut donc 55, et l'on peut empiler 55 points pour former un joli triangle dont la rangée du bas compte 10 points.
Questions fréquentes
Quel est le 100e nombre triangulaire ? \(T(100) = 100 \times 101 / 2 = 5050\).
n peut-il être un nombre décimal ? Les nombres triangulaires sont définis pour les entiers naturels, c'est pourquoi le calculateur utilise la partie entière de votre saisie.
\(T(n)\) est-il toujours un entier ? Oui. Soit n, soit n+1 est pair, donc \(n(n+1)\) est toujours divisible par 2.
