Qu'est-ce que la méthode de la fausse position ?
La méthode de la fausse position (en latin regula falsi, parfois appelée « méthode des cordes ») est une technique de recherche de racine par encadrement qui permet de résoudre \(f(x) = 0\). À l'instar de la dichotomie, elle nécessite un intervalle de départ \([a, b]\) sur lequel la fonction change de signe : la condition \(f(a)\cdot f(b) \le 0\) garantit qu'une racine se trouve entre \(a\) et \(b\). Mais au lieu de couper systématiquement l'intervalle en deux, elle trace une droite reliant les deux extrémités et retient l'abscisse à l'origine de cette droite comme nouvelle estimation, ce qui converge généralement plus vite que la dichotomie.
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez votre fonction sous la forme \(f(x)\) avec la notation usuelle : + - * / ^, parenthèses et fonctions telles que sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, cbrt. Choisissez la borne inférieure \(a\) et la borne supérieure \(b\) de sorte que \(f(a)\) et \(f(b)\) soient de signes opposés. Indiquez le nombre maximal d'itérations ainsi que le nombre de chiffres significatifs à afficher. Le résultat fournit la racine approchée \(x\), le nombre d'itérations effectuées et le résidu \(f(x)\), qui doit être très proche de zéro.
La formule expliquée
À chaque étape, la nouvelle estimation est l'abscisse à l'origine de la sécante passant par les extrémités de l'encadrement :
$$x_n = \frac{a_n\cdot f(b_n) - b_n\cdot f(a_n)}{f(b_n) - f(a_n)}$$Si \(f(x_n)\) est du même signe que \(f(a_n)\), alors \(a\) est remplacé par \(x_n\) ; sinon, c'est \(b\) qui est remplacé. Le changement de signe — et donc la racine encadrée — est ainsi préservé. Les itérations s'arrêtent lorsque \(|f(x_n)|\) passe sous la tolérance (environ \(1\text{e-}12\)) ou lorsque la limite d'itérations est atteinte.
Exemple détaillé
Pour \(f(x) = x - \cos(x)\) sur \([-10, 10]\) : \(f(-10) \approx -10{,}839\) (négatif) et \(f(10) \approx 10{,}839\) (positif), l'intervalle encadre donc bien une racine. La méthode converge vers \(x \approx 0{,}7390851332\), où \(f(x) \approx 0\). Cette valeur est le célèbre point fixe du cosinus.
FAQ
Pourquoi faut-il que \(f(a)\cdot f(b)\) soit \(\le 0\) ? Un changement de signe garantit qu'une fonction continue traverse zéro à l'intérieur de l'intervalle. Sans cette condition, la méthode risque de ne disposer d'aucune racine à trouver, et l'outil affiche alors un avertissement.
Pourquoi la convergence peut-elle être lente ? Pour des fonctions à forte courbure, l'une des extrémités peut rester figée, ce qui entraîne une convergence linéaire lente. C'est un comportement normal de la regula falsi, et c'est précisément pour cela que le nombre d'itérations est plafonné.
Et si le dénominateur est nul ? Si \(f(b)\) est égal à \(f(a)\), la sécante est horizontale et n'a pas d'abscisse à l'origine unique ; le calculateur signale alors une erreur plutôt que de diviser par zéro.
