Калькулятор корня методом ложного положения

Введите расчет

f(x)

a

b

Choose a and b so that f(a) and f(b) have opposite signs (f(a)·f(b) ≤ 0).

n (макс. число итераций) 10 20 50 100 200 500

Значащих цифр 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

Результатов

Approximate root x where f(x) ≈ 0

0,7390851332149927

Метод ложного положения (Regula Falsi)

Корень x	0,7390851332149927
Итерации	10
f(x) в точке корня	-0,000000000000281108

Что такое метод ложного положения?

Метод ложного положения (лат. regula falsi, иногда его называют «методом хорд») — это итерационный способ нахождения корня уравнения \(f(x) = 0\), основанный на сужении отрезка. Как и метод половинного деления, он требует начального отрезка [a, b], на концах которого функция меняет знак: условие \(f(a)\cdot f(b) \le 0\) гарантирует, что корень лежит между a и b. Но вместо того чтобы каждый раз делить отрезок пополам, метод проводит прямую через две крайние точки и берёт точку её пересечения с осью x в качестве следующего приближения. Благодаря этому он, как правило, сходится быстрее, чем простое деление пополам.

Метод ложного положения соединяет концы прямой линией; точка её пересечения с осью x даёт следующее приближение.

Как пользоваться калькулятором

Введите функцию f(x) в привычной записи: + - * / ^, скобки, а также функции sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, cbrt. Задайте левую границу a и правую границу b так, чтобы значения \(f(a)\) и \(f(b)\) имели разные знаки. Укажите максимальное число итераций и количество значащих цифр для вывода результата. В ответе вы увидите приближённое значение корня x, число выполненных итераций и невязку \(f(x)\), которая должна быть очень близка к нулю.

Разбор формулы

На каждом шаге следующее приближение — это точка пересечения с осью x секущей, проведённой через концы отрезка:

$$x_n = \frac{a_n\cdot f(b_n) - b_n\cdot f(a_n)}{f(b_n) - f(a_n)}$$

Если знак \(f(x_n)\) совпадает со знаком \(f(a_n)\), то a заменяется на \(x_n\); в противном случае заменяется b. Так на отрезке сохраняется смена знака, а значит, и заключённый внутри корень. Итерации прекращаются, когда \(|f(x_n)|\) становится меньше заданной точности (около 1e-12) либо достигается предел числа итераций.

После каждого шага заменяется конец с тем же знаком, что и новая точка, сохраняя корень внутри интервала.

Пример расчёта

Возьмём \(f(x) = x - \cos(x)\) на отрезке [-10, 10]: \(f(-10) \approx -10{,}839\) (отрицательно), а \(f(10) \approx 10{,}839\) (положительно), то есть отрезок содержит корень. Метод сходится к значению \(x \approx 0{,}7390851332\), где \(f(x) \approx 0\). Это и есть известная неподвижная точка косинуса.

Частые вопросы

Почему обязательно \(f(a)\cdot f(b) \le 0\)? Смена знака гарантирует, что непрерывная функция пересекает ноль внутри отрезка. Без этого условия корня внутри может не оказаться, и калькулятор выдаст предупреждение.

Почему сходимость иногда бывает медленной? Для функций с большой кривизной один из концов отрезка может «застрять» на месте, и сходимость становится медленной линейной. Это нормальное поведение метода regula falsi — именно поэтому число итераций ограничивают.

Что делать, если знаменатель равен нулю? Если \(f(b)\) равно \(f(a)\), секущая оказывается горизонтальной и не имеет единственной точки пересечения с осью x. В этом случае калькулятор сообщит об ошибке, а не станет делить на ноль.