Phương pháp dây cung là gì?
Phương pháp dây cung (tiếng Latinh là regula falsi, đôi khi còn gọi là "phương pháp vị trí sai") là một kỹ thuật tìm nghiệm dựa trên khoảng phân ly để giải phương trình \(f(x) = 0\). Cũng giống như phương pháp chia đôi, nó cần một khoảng ban đầu \([a, b]\) mà trên đó hàm số đổi dấu, tức là \(f(a)\cdot f(b) \le 0\), để đảm bảo chắc chắn tồn tại một nghiệm nằm giữa \(a\) và \(b\). Tuy nhiên, thay vì luôn chia đôi khoảng, phương pháp này vẽ một đường thẳng nối hai đầu mút và lấy giao điểm của đường thẳng đó với trục hoành làm xấp xỉ tiếp theo — cách làm này thường hội tụ nhanh hơn so với chia đôi.
Cách sử dụng máy tính này
Hãy nhập hàm số \(f(x)\) theo ký hiệu thông thường: các phép toán + - * / ^, dấu ngoặc và các hàm như sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt, abs, cbrt. Đặt đầu mút dưới \(a\) và đầu mút trên \(b\) sao cho \(f(a)\) và \(f(b)\) trái dấu nhau. Chọn số lần lặp tối đa và số chữ số có nghĩa muốn hiển thị. Kết quả sẽ cho bạn nghiệm xấp xỉ \(x\), số lần lặp đã thực hiện và sai số dư \(f(x)\) — giá trị này phải rất gần 0.
Giải thích công thức
Tại mỗi bước, xấp xỉ tiếp theo chính là giao điểm với trục hoành của đường cát tuyến đi qua hai đầu mút của khoảng:
$$x_n = \frac{a_n\cdot f(b_n) - b_n\cdot f(a_n)}{f(b_n) - f(a_n)}.$$
Nếu \(f(x_n)\) cùng dấu với \(f(a_n)\) thì \(a\) được thay bằng \(x_n\); ngược lại thì \(b\) được thay bằng \(x_n\). Nhờ vậy, sự đổi dấu — và do đó là khoảng chứa nghiệm — luôn được giữ nguyên. Quá trình lặp dừng lại khi \(|f(x_n)|\) nhỏ hơn ngưỡng sai số (khoảng 1e-12) hoặc khi đạt đến giới hạn số lần lặp.
Ví dụ minh họa
Với \(f(x) = x - \cos(x)\) trên khoảng \([-10, 10]\): \(f(-10) \approx -10{,}839\) (âm) và \(f(10) \approx 10{,}839\) (dương), nên khoảng này phân ly một nghiệm. Phương pháp hội tụ về \(x \approx 0{,}7390851332\), tại đó \(f(x) \approx 0\). Đây chính là điểm bất động nổi tiếng của hàm cosin.
Câu hỏi thường gặp
Tại sao cần \(f(a)\cdot f(b) \le 0\)? Sự đổi dấu đảm bảo rằng một hàm số liên tục sẽ cắt trục hoành ở đâu đó bên trong khoảng. Nếu không có điều kiện này, có thể không tồn tại nghiệm để tìm và công cụ sẽ đưa ra cảnh báo.
Tại sao đôi khi hội tụ chậm? Với những hàm có độ cong lớn, một đầu mút có thể bị "kẹt" cố định, dẫn đến hội tụ tuyến tính chậm. Đây là hành vi bình thường của regula falsi và cũng là lý do số lần lặp được giới hạn.
Nếu mẫu số bằng 0 thì sao? Nếu \(f(b)\) bằng \(f(a)\), đường cát tuyến sẽ nằm ngang và không có giao điểm duy nhất với trục hoành; lúc này máy tính sẽ báo lỗi thay vì thực hiện phép chia cho 0.
