Bài toán năng suất làm việc chung là gì?
Đây là dạng "bài toán làm chung công việc" quen thuộc trong số học: mỗi đội có thể tự hoàn thành cùng một công việc trong số ngày đã biết, và bạn muốn biết nếu hai đội cùng làm thì xong nhanh đến mức nào. Cách tính này áp dụng cho mọi công việc mà hai người, hai máy móc hoặc hai vòi nước cùng chia sẻ — sơn một bức tường, bơm đầy một bể, hay hoàn thành một dự án.
Cách sử dụng
Nhập số ngày đội A cần (thời gian đội A làm một mình) và số ngày đội B cần (thời gian đội B làm một mình), dùng cùng một đơn vị thời gian. Máy tính sẽ trả về năng suất mỗi ngày của từng đội, năng suất gộp, và số ngày cần khi cả hai cùng làm. Nếu bạn tính bằng giờ thay vì ngày thì kết quả cũng sẽ ra theo giờ — chỉ cần giữ cả hai số liệu cùng một đơn vị.
Giải thích công thức
Hãy xem toàn bộ công việc là 1 đơn vị. Mỗi ngày đội A hoàn thành phần \(1/a\) của công việc, còn đội B hoàn thành \(1/b\). Khi cùng làm song song, năng suất của hai đội cộng lại, cho ra năng suất gộp là $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{a \cdot b}.$$ Thời gian hoàn thành chính là nghịch đảo của năng suất đó, nên $$t = \frac{a \cdot b}{a + b}.$$ Vì có thêm người giúp thì chỉ làm nhanh hơn, nên kết quả luôn nhỏ hơn thời gian làm một mình của đội nhanh hơn.
Ví dụ minh họa
Giả sử đội A cần 16 ngày và đội B cần 10 ngày. Năng suất đội A là \(1/16 = 0{,}0625\) công việc/ngày, còn đội B là \(1/10 = 0{,}1\) công việc/ngày. Năng suất gộp là 0,1625 công việc/ngày, nên khi cùng làm họ sẽ xong trong $$\frac{1}{0{,}1625} = \frac{16 \times 10}{16 + 10} = \frac{160}{26} \approx 6{,}15 \text{ ngày}$$ — khoảng 6 ngày 3,7 giờ.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao kết quả nhỏ hơn cả hai số liệu nhập vào? Hai đội cùng làm không bao giờ chậm hơn một đội nhanh hơn làm riêng, nên thời gian gộp luôn thấp hơn số ngày nhỏ hơn trong hai số làm riêng.
Đổi chỗ A và B có làm thay đổi kết quả không? Không. Công thức đối xứng theo \(a\) và \(b\), nên thứ tự không quan trọng.
Tôi có thể dùng giờ hoặc tuần không? Có. Phép tính không phụ thuộc đơn vị; chỉ cần đảm bảo cả hai số liệu dùng cùng một đơn vị và đọc kết quả theo đơn vị đó.
