ما هي مسألة معدل العمل (العمل المشترك)؟
إنها «مسألة العمل» الشهيرة في الحساب: لدينا فريقان يستطيع كل منهما إنجاز العمل نفسه بمفرده خلال عدد معروف من الأيام، والمطلوب معرفة الوقت الذي يستغرقانه إذا تعاونا معًا. تنطبق هذه المسألة على أي مهمة يتشاركها عاملان أو آلتان أو أنبوبان — كطلاء جدار، أو ملء خزان، أو إنجاز مشروع.
طريقة الاستخدام
أدخل عدد الأيام التي يحتاجها الفريق (أ) بمفرده، وعدد الأيام التي يحتاجها الفريق (ب) بمفرده، باستخدام الوحدة الزمنية نفسها. تعرض الحاسبة معدل عمل كل فريق في اليوم، والمعدل المشترك، وعدد الأيام اللازمة عند عملهما معًا. وإذا كنت تقيس بالساعات بدلًا من الأيام، فستظهر النتيجة بالساعات — فقط احرص على أن تكون كلتا القيمتين بالوحدة نفسها.
شرح القانون
اعتبر العمل كاملًا وحدةً واحدة. ينجز الفريق (أ) جزءًا مقداره \(1/a\) من العمل يوميًا، وينجز الفريق (ب) مقدار \(1/b\) يوميًا. وعندما يعملان جنبًا إلى جنب تُجمع معدلاتهما، فيكون المعدل المشترك: $$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{a \cdot b}.$$ والوقت اللازم للإنجاز هو مقلوب هذا المعدل، أي $$t = \frac{a \cdot b}{a + b}.$$ وبما أن إضافة مساعدة لا تعني سوى تسريع العمل، فإن النتيجة تكون دائمًا أقل من الوقت الذي يستغرقه الفريق الأسرع بمفرده.
مثال محلول
لنفترض أن الفريق (أ) يحتاج إلى 16 يومًا والفريق (ب) إلى 10 أيام. معدل الفريق (أ) هو \(1/16 = 0.0625\) عمل/يوم، ومعدل الفريق (ب) هو \(1/10 = 0.1\) عمل/يوم. ويكون المعدل المشترك \(0.1625\) عمل/يوم، فيُنجزان العمل معًا في $$\frac{1}{0.1625} = \frac{16 \times 10}{16 + 10} = \frac{160}{26} \approx 6.15 \text{ يومًا}$$ — أي نحو 6 أيام و3.7 ساعة.
الأسئلة الشائعة
لماذا تكون النتيجة أقل من كلتا القيمتين المدخلتين؟ لأن عمل فريقين معًا لا يكون أبدًا أبطأ من عمل الفريق الأسرع بمفرده، لذا يكون الوقت المشترك دائمًا أقل من أصغر الوقتين المنفردين.
هل يؤثر تبديل (أ) و(ب) في النتيجة؟ لا. فالقانون متماثل في \(a\) و\(b\)، ومن ثَمّ لا يهم الترتيب.
هل أستطيع استخدام الساعات أو الأسابيع؟ نعم. القانون لا يتأثر بالوحدة؛ فقط تأكد من أن كلتا القيمتين بالوحدة نفسها، واقرأ النتيجة بالوحدة ذاتها.
