일률(함께 일하기) 문제란?
수학 교과서에 단골로 등장하는 '일의 양 문제'입니다. 두 팀이 각각 혼자서 같은 작업을 끝내는 데 며칠이 걸리는지 알 때, 두 팀이 힘을 합치면 얼마나 빨리 끝나는지 구하는 문제죠. 벽에 페인트칠하기, 물탱크 채우기, 프로젝트 완성하기처럼 두 작업자·기계·수도관이 함께 처리하는 모든 일에 그대로 적용됩니다.
사용 방법
A팀이 혼자 끝내는 데 필요한 일수와 B팀이 혼자 끝내는 데 필요한 일수를 같은 시간 단위로 입력하세요. 계산기는 각 팀의 하루당 작업량, 두 팀을 합친 작업량, 그리고 함께 일할 때 걸리는 일수를 알려줍니다. 일 대신 시간 단위로 입력하면 결과도 시간으로 나옵니다 — 두 값을 같은 단위로만 맞춰 주면 됩니다.
공식 풀이
전체 작업을 1이라고 둡니다. A팀은 하루에 \(1/a\)만큼, B팀은 하루에 \(1/b\)만큼 작업을 끝냅니다. 두 팀이 나란히 일하면 작업 속도가 더해져 합쳐진 속도는 \(1/a + 1/b = (a + b) / (a\cdot b)\)가 됩니다. 걸리는 시간은 이 속도의 역수이므로
$$t = \dfrac{a\cdot b}{a + b}$$입니다. 도움을 더하면 작업은 빨라지기만 하므로, 결과는 항상 더 빠른 팀이 혼자 했을 때의 시간보다 짧게 나옵니다.
예제로 보기
A팀이 16일, B팀이 10일 걸린다고 해 봅시다. A팀의 속도는 \(1/16 = 0.0625\)(작업/일), B팀의 속도는 \(1/10 = 0.1\)(작업/일)입니다. 합친 속도는 \(0.1625\)(작업/일)이므로 함께 일하면
$$\frac{1}{0.1625} = \frac{16\times 10}{16+10} = \frac{160}{26} \approx 6.15\ \text{일}$$즉 약 6일 3.7시간 만에 끝납니다.
자주 묻는 질문
왜 결과가 두 입력값보다 작게 나오나요? 두 팀이 함께하면 더 빠른 팀이 혼자 하는 것보다 결코 느려질 수 없습니다. 그래서 함께 걸리는 시간은 두 팀의 단독 작업 시간 중 더 짧은 쪽보다도 항상 짧습니다.
A와 B를 바꿔 넣으면 답이 달라지나요? 아니요. 공식이 \(a\)와 \(b\)에 대해 대칭이라 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
시간이나 주 단위로도 쓸 수 있나요? 물론입니다. 계산식은 단위와 무관합니다. 두 입력값을 같은 단위로 맞추고, 결과도 그 단위로 읽으면 됩니다.
