이분법 근 찾기 계산기

계산 입력

f(x) 변수로 x를 사용하세요. 함수: sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs. 상수: pi, e. 연산자: + - * / ^.

a (하한 끝점)

b (상한 끝점)

Choose a, b so that f(a)·f(b) ≤ 0 (the root must be bracketed).

n (최대 반복 횟수) 10 20 50 100 200 500

자릿수 (표시 정밀도) 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

x (root) where f(x) ≈ 0

0.7390851332151449

f(x) = 0의 근삿값 해

근에서의 f(x) 값	-0.0000000000000263
사용된 반복 횟수	50
방법	이분법 (구간 반분법)

이분법이란?

이분법은 연속함수 f(x)의 근, 즉 f(x) = 0이 되는 x 값을 찾는 가장 오래되고 안정적인 방법 중 하나입니다. 함수의 부호가 바뀌는 구간 [a, b]에서 출발해, 그 구간을 절반으로 계속 나누면서 여전히 근을 품고 있는 쪽 절반만 남기는 방식으로 작동합니다. 매 단계마다 부호 변화가 유지되기 때문에, f가 연속이고 f(a)와 f(b)의 부호가 서로 반대이기만 하면 반드시 수렴하는 것이 보장됩니다. 이 계산기는 무차원의 실함수라면 모두 처리할 수 있으며, 삼각함수는 라디안을 기준으로 계산합니다.

이분법은 f(a)와 f(b)의 부호가 반대인 구간에 근을 가둡니다.

계산기 사용법

f(x) 칸에 x를 변수로 사용해 함수를 입력하세요(예: x-cos(x), x^2-2, exp(x)-3). 근이 두 끝점 사이에 오도록 하한 a와 상한 b를 설정하면 됩니다. 이때 \(f(a)\cdot f(b)\)의 값이 0 이하여야 합니다. 최대 반복 횟수 n과 표시할 자릿수를 고른 뒤 계산하면, 근의 근삿값과 그 지점에서의 함숫값(0에 가까워야 합니다), 그리고 실제로 필요했던 반복 횟수를 알려줍니다.

계산 공식

각 단계에서 근의 추정값은 구간의 중점 \(x_n = (a_n + b_n) / 2\)입니다.

$$c = \frac{a + b}{2} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} &\text{if } f(a)\cdot f(c) < 0 \Rightarrow b \leftarrow c \\ &\text{else} \Rightarrow a \leftarrow c \\ &\text{repeat up to } n \text{ times} \end{aligned} \right.$$

\(|f(x_n)|\)이 허용 오차보다 작아지면 \(x_n\)을 근으로 받아들입니다. 그렇지 않으면 부호 변화가 남아 있는 쪽 절반을 택합니다. 즉, \(f(a_n)\cdot f(x_n) > 0\)이면 근은 오른쪽에 있으므로 \(a = x_n\)으로, 그렇지 않으면 왼쪽에 있으므로 \(b = x_n\)으로 갱신합니다. 구간 폭은 \((b-a)/2^n\)으로 줄어들기 때문에 수렴은 선형이며, 한 단계마다 대략 정확한 이진 자릿수 하나씩을 얻는 셈입니다.

각 반복마다 구간을 절반으로 나누고 근을 포함한 쪽을 유지합니다.

예제 풀이

구간 \([-10, 10]\)에서 \(f(x) = x - \cos(x)\)를 생각해 봅시다. \(f(-10) \approx -10.84\)(음수), \(f(10) \approx 10.84\)(양수)이므로 근이 구간 안에 갇혀 있습니다. 구간을 반복해서 절반으로 나누면 \(x \approx 0.7390851332151607\)로 수렴하는데, 이는 \(x = \cos x\)를 만족하는 유명한 도티 수(Dottie number)이며 이때 \(f(x)\)는 사실상 0이 됩니다.

이분법을 손으로 하는 방법

이분법은 근이 있는 것으로 알려진 구간을 반복적으로 이등분하여 \(f(x)=0\)의 근을 찾습니다. 이것은 중간값 정리에 의존합니다: \(f\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(f(a)\)와 \(f(b)\)가 반대 부호를 가지면, 근이 반드시 그 사이에 있어야 합니다.

1. 괄호를 확인하십시오. \(f(a)\cdot f(b)<0\)임을 확인합니다. 곱이 양수이면 구간이 근을 포함한다고 보장되지 않으므로 다른 \([a,b]\)를 선택하십시오.
2. 중점을 계산하십시오. \(m=\dfrac{a+b}{2}\).
3. 함수를 평가하십시오. \(f(m)\)을 구합니다. \(f(m)=0\)이거나 허용 범위 내에 있으면 \(m\)이 근이고 멈춥니다.
4. 부호에 따라 끝점을 바꾸십시오. \(f(a)\cdot f(m)<0\)이면 근은 \([a,m]\)에 있으므로 \(b\leftarrow m\)을 설정합니다. 그렇지 않으면 근은 \([m,b]\)에 있으므로 \(a\leftarrow m\)을 설정합니다.
5. 반복 \(|b-a|<\text{허용값}\) 또는 \(|f(m)|<\text{허용값}\)이 될 때까지, 또는 최대 반복 횟수에 도달할 때까지 2단계부터 4단계까지 반복합니다.

예: \(f(x)=x^{3}-x-2\)를 \([1,2]\)에서 계산합니다. 확인: \(f(1)=-2\), \(f(2)=4\), 곱 \(<0\) — 괄호가 유효합니다.

반복	a	b	m=(a+b)/2	f(m)	새 구간
1	1.0000	2.0000	1.5000	−0.125	[1.5, 2]
2	1.5000	2.0000	1.7500	1.6094	[1.5, 1.75]
3	1.5000	1.7500	1.6250	0.6660	[1.5, 1.625]
4	1.5000	1.6250	1.5625	0.2522	[1.5, 1.5625]
5	1.5000	1.5625	1.5313	0.0591	[1.5, 1.5313]
6	1.5000	1.5313	1.5156	−0.0340	[1.5156, 1.5313]

더 많은 반복 후 구간이 참 근인 1.521380으로 수렴합니다. 이는 3차 방정식 \(x^{3}-x-2=0\)의 유일한 실수 근이기도 하며, 직접 풀이기로 찾은 1.521380입니다.

반복 횟수 대 허용값 및 구간 너비

각 이분 단계에서 구간을 이등분하므로 \(n\)번 반복 후 괄호 너비는 \((b-a)/2^{\,n}\)입니다. 근의 위치에 대해 허용값 \(\text{허용값}\)에 도달하려면 대략

$$n \approx \log_2\!\left(\frac{b-a}{\text{허용값}}\right).$$

횟수는 정밀도의 로그와만 증가하므로 매우 엄격한 허용값도 상대적으로 적은 단계만 필요합니다. 표는 여러 조합에 대해 반올림된 반복 횟수를 보여줍니다.

초기 너비 \(b-a\)	목표 허용값	\(\log_2((b-a)/\text{허용값})\)	필요한 반복 횟수
1	\(10^{-3}\)	9.97	10
1	\(10^{-6}\)	19.93	20
1	\(10^{-10}\)	33.22	34
10	\(10^{-6}\)	23.25	24
20	\(10^{-6}\)	24.25	25
100	\(10^{-8}\)	33.22	34
0.5	\(10^{-12}\)	38.86	39

예를 들어, 너비 20인 괄호를 \(10^{-6}\)로 정제하려면 \(\lceil\log_2(20/10^{-6})\rceil=\lceil 24.25\rceil=\) 25번의 반복이 필요하고, 너비 1인 괄호를 \(10^{-10}\)로 정제하려면 \(\lceil 33.22\rceil=\) 34번이 필요합니다. 시작 너비를 이등분하면 정확히 한 번의 반복을 절약합니다. 정밀도를 제곱하면(소수점 한 자리 추가) 약 3.3번의 반복이 소요됩니다.

주요 용어

• 근. 함수가 0인 값 \(x^{*}\), 즉 \(f(x^{*})=0\). 영점 또는 방정식의 해라고도 합니다.
• 괄호 / 구간 \([a,b]\). 근을 포함한다고 생각되는 끝점 쌍입니다. 이분법의 경우 부호 변화 조건을 만족해야 합니다.
• 부호 변화. 조건 \(f(a)\cdot f(b)<0\), 즉 \(f\)가 끝점에서 반대 부호를 취하는 것을 의미합니다. 연속 \(f\)의 경우 이것은 그 사이에 최소한 하나의 근이 있음을 보장합니다(중간값 정리).
• 중점. 현재 구간의 중심, \(m=(a+b)/2\). 각 단계에서 이 점을 검사하고 근을 포함할 수 없는 절반을 버립니다.
• 허용값. 반복을 멈추는 정확도 목표로, 구간 너비 \(|b-a|\) 또는 잔차 \(|f(m)|\)에 적용됩니다.
• 수렴(선형). 이분법은 선형으로 수렴합니다: 오차는 각 단계에서 대략 이등분됩니다(오차 \(\le (b-a)/2^{n}\)), 일정하지만 가속하지 않는 진행을 제공합니다 — 반복당 약 1개의 추가 올바른 이진 자릿수입니다.
• 반복. 중점 계산, 함수 평가, 끝점 업데이트의 한 전체 주기입니다. 반복 횟수는 최대 반복 설정으로 제한됩니다.

자주 묻는 질문

"부호 변화 없음" 오류가 왜 나오나요? 이분법은 f(a)와 f(b)의 부호가 서로 반대여야 합니다. 근을 사이에 두도록 a와 b를 조정해 보세요.

근을 여러 개 찾을 수 있나요? 아니요. 구간 안의 근 하나만 반환하며, 곡선이 축을 넘지 않고 닿기만 하는 근은 찾아내지 못합니다.

뉴턴법보다 왜 느린가요? 이분법은 한 단계마다 이진 자릿수 하나 정도를 얻는 선형 수렴인 반면, 뉴턴법은 2차 수렴이기 때문입니다. 그래서 이분법은 안전한 출발점을 먼저 찾아 두고, 더 빠른 방법으로 정밀하게 다듬는 데 자주 쓰입니다.