유한 구간 [a, b]에 대한 Tanh-Sinh 구적법 계산기

계산 입력

f(x)

아래쪽 적분 한계 a

위쪽 적분 한계 b

분할 수 n

결과

적분값

0.7468241328

구간 [a, b]에서 정적분의 근삿값

계산 방법	Tanh-Sinh(이중 지수)
분할 수 n	100
사용된 함수 평가 횟수	201

Tanh-Sinh 구적법이란?

Tanh-Sinh 구적법은 이중 지수(Double Exponential, DE) 공식이라고도 불리며, 유한 구간 [a, b]에서의 정적분을 계산하는 데 탁월한 수치 적분 기법입니다. 특히 피적분함수가 구간의 양 끝점에서 특이점을 가질 때 진가를 발휘합니다. 이 방법은 \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\)라는 변수 변환을 적용하여 끝점을 \(t = \pm\infty\)로 보냅니다. 그러면 끝점 근처에서 피적분함수의 기여도가 이중 지수적으로 감소하기 때문에, \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)처럼 \(a\)나 \(b\)에서 발산하는 함수조차 정확하게 적분할 수 있습니다. 이 도구는 보편적인 수학 원리에 기반하므로 어디서나 동일하게 적용됩니다.

이중 지수 변수 변환은 실수 직선을 (-1, 1)로 사상하여 노드를 양 끝점 쪽으로 모읍니다.

사용 방법

표준 표기법으로 함수 \(f(x)\)를 입력하세요(연산자 + - * / ^, 괄호, 그리고 sin, cos, exp, log, sqrt, abs 같은 함수와 상수 pi, e를 사용할 수 있습니다). 아래쪽 적분 한계 \(a\), 위쪽 적분 한계 \(b\), 그리고 노드 밀도를 조절하는 분할 수 \(n\)을 입력합니다. \(n\)이 클수록 계산 비용은 늘어나지만 정확도가 높아지며, 실무에서는 보통 50–400 정도를 사용합니다. 피적분함수는 열린구간에서 해석적이어야 하고(끝점 특이점은 괜찮습니다), 주기함수여서는 안 됩니다.

공식 설명

먼저 구간을 \(x = \frac{b-a}{2}u + \frac{a+b}{2}\), \(dx = \frac{b-a}{2}\,du\)를 통해 [-1, 1]로 정규화합니다. 이어서 DE 공식은 노드 \(t_k = k\,h\), 가로 좌표 \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\), 가중치 \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\)를 사용합니다. 적분값은 다음과 같이 근사됩니다.

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$

가중치가 0으로 언더플로되는 노드(포화된 끝점)는 건너뛰므로, 특이점이 있을 수 있는 경계에서의 함수 평가를 피할 수 있습니다.

노드가 끝점 a와 b 근처에 모이므로 끝점 특이점을 정확하게 처리합니다.

계산 예시

구간 [0, 1]에서 \(f(x) = \exp(-x^2)\)을 적분해 봅시다. 정확한 값은 \(\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0.7468241\)입니다. 거친 간격(\(h = 0.5\), \(N = 4\))만으로도 약 0.7467이라는 값을 얻을 수 있으며, 기본값 \(n = 100\)을 사용하면 약 12자리까지 정확하게 일치합니다.

자주 묻는 질문

끝점에 특이점이 있는 함수도 적분할 수 있나요? 네 — 바로 이것이 이 방법의 핵심 강점입니다. \(a\)나 \(b\)에 있는 적분 가능한 특이점을 매끄럽게 처리합니다.

왜 주기성이 중요한가요? 이중 지수 공식은 비주기 피적분함수에 최적화되어 있습니다. 주기함수의 경우에는 사다리꼴 공식이 더 빠르게 수렴하며, DE 공식은 부정확할 수 있습니다.

a와 b가 같으면 어떻게 되나요? 적분값은 0이 됩니다. \(a > b\)인 경우에는 \(\frac{b-a}{2}\) 인수가 부호를 그대로 반영하므로 결과의 부호가 올바르게 반전됩니다.