Tanh-Sinh(이중 지수) 수치 적분 계산기

결과

적분값

0.7468241328

구간 [a, b]에서 정적분의 근삿값

계산 방법	Tanh-Sinh(이중 지수)
분할 수 n	100
사용된 함수 평가 횟수	201

Tanh-Sinh 구적법이란?

Tanh-Sinh 구적법은 이중 지수(Double Exponential, DE) 공식이라고도 불리며, 유한 구간 [a, b]에서의 정적분을 계산하는 데 탁월한 수치 적분 기법입니다. 특히 피적분함수가 구간의 양 끝점에서 특이점을 가질 때 진가를 발휘합니다. 이 방법은 $u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)$라는 변수 변환을 적용하여 끝점을 $t = \pm\infty$로 보냅니다. 그러면 끝점 근처에서 피적분함수의 기여도가 이중 지수적으로 감소하기 때문에, $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$처럼 $a$나 $b$에서 발산하는 함수조차 정확하게 적분할 수 있습니다. 이 도구는 보편적인 수학 원리에 기반하므로 어디서나 동일하게 적용됩니다.

마이너스 1과 플러스 1의 점근선을 향해 평탄해지는 S자형 tanh-sinh 변환 곡선 — 이중 지수 변수 변환은 실수 직선을 (-1, 1)로 사상하여 노드를 양 끝점 쪽으로 모읍니다.

사용 방법

표준 표기법으로 함수 $f(x)$를 입력하세요(연산자 + - * / ^, 괄호, 그리고 sin, cos, exp, log, sqrt, abs 같은 함수와 상수 pi, e를 사용할 수 있습니다). 아래쪽 적분 한계 $a$, 위쪽 적분 한계 $b$, 그리고 노드 밀도를 조절하는 분할 수 $n$을 입력합니다. $n$이 클수록 계산 비용은 늘어나지만 정확도가 높아지며, 실무에서는 보통 50–400 정도를 사용합니다. 피적분함수는 열린구간에서 해석적이어야 하고(끝점 특이점은 괜찮습니다), 주기함수여서는 안 됩니다.

공식 설명

먼저 구간을 $x = \frac{b-a}{2}u + \frac{a+b}{2}$, $dx = \frac{b-a}{2}\,du$를 통해 [-1, 1]로 정규화합니다. 이어서 DE 공식은 노드 $t_k = k\,h$, 가로 좌표 $u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)$, 가중치 $w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}$를 사용합니다. 적분값은 다음과 같이 근사됩니다.

$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$

가중치가 0으로 언더플로되는 노드(포화된 끝점)는 건너뛰므로, 특이점이 있을 수 있는 경계에서의 함수 평가를 피할 수 있습니다.

a에서 b까지의 구간에서 음영 영역 아래 양 끝점 근처에 빽빽하게 모인 구적 노드 — 노드가 끝점 a와 b 근처에 모이므로 끝점 특이점을 정확하게 처리합니다.

계산 예시

구간 [0, 1]에서 $f(x) = \exp(-x^2)$을 적분해 봅시다. 정확한 값은 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0.7468241$입니다. 거친 간격($h = 0.5$, $N = 4$)만으로도 약 0.7467이라는 값을 얻을 수 있으며, 기본값 $n = 100$을 사용하면 약 12자리까지 정확하게 일치합니다.