Sonlu Aralık [a, b] için Tanh-Sinh Kuadratür Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

f(x)

Alt sınır a

Üst sınır b

Alt bölüm sayısı n

Sonuç

İntegral değeri

0,7468241328

[a, b] aralığındaki belirli integralin yaklaşık değeri

Yöntem	Tanh-Sinh (Çift Üstel)
Alt bölüm sayısı n	100
Kullanılan fonksiyon değerlendirme sayısı	201

Tanh-Sinh Kuadratürü Nedir?

Çift Üstel (DE) kural olarak da bilinen Tanh-Sinh kuadratürü, sonlu bir [a, b] aralığındaki belirli integralleri hesaplamada öne çıkan bir sayısal integral yöntemidir — özellikle integrandın aralık uçlarında tekilliklere sahip olduğu durumlarda. Yöntem, \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\) değişken dönüşümünü uygular ve böylece uç noktaları \(t = \pm\infty\) değerlerine taşır. Bu uçların yakınında integrandın katkısı çift üstel hızla azaldığından, a veya b noktasında ıraksayan fonksiyonlar (örneğin \(1/\sqrt{1-x^2}\)) bile yüksek doğrulukla integre edilebilir. Bu araç evrensel matematiğe dayanır ve her yerde geçerlidir.

Çift üstel değişken dönüşümü gerçek doğruyu (-1, 1) aralığına eşler ve düğümleri uç noktalara doğru toplar.

Nasıl Kullanılır?

f(x) fonksiyonunuzu standart gösterimle girin (işleçler + - * / ^, parantezler ve sin, cos, exp, log, sqrt, abs gibi fonksiyonlar ile pi ve e sabitleri). Alt sınır a değerini, üst sınır b değerini ve düğüm yoğunluğunu belirleyen alt bölüm sayısı n değerini girin. Daha büyük n değeri doğruluğu artırır ancak hesaplama maliyetini de yükseltir; 50–400 aralığı pratikte tipik bir seçimdir. İntegrand, açık aralıkta analitik olmalıdır (uç nokta tekillikleri sorun değildir) ve periyodik olmamalıdır.

Formülün Açıklaması

Aralık önce \(x = \tfrac{b-a}{2}u + \tfrac{a+b}{2}\) ve \(dx = \tfrac{b-a}{2}\,du\) dönüşümüyle [-1, 1] aralığına normalize edilir. DE kuralı ardından \(t_k = k\,h\) düğümlerini, \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\) apsislerini ve \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\) ağırlıklarını kullanır. İntegral, $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$ ifadesiyle yaklaşık olarak hesaplanır. Ağırlığı sıfıra düşen düğümler (doygunluğa ulaşan uç noktalar) atlanır; böylece tekil olabilecek sınırlarda fonksiyon değerlendirmesi yapılmaz.

Düğümler a ve b uç noktalarına yakın toplanır, böylece uç nokta tekillikleri doğru biçimde ele alınır.

Çözümlü Örnek

\(f(x) = \exp(-x^2)\) fonksiyonunu [0, 1] aralığında integre edelim. Kesin değer \(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}7468241\)'dir. Kaba bir adımla (\(h = 0{,}5\), \(N = 4\)) kural daha şimdiden yaklaşık \(0{,}7467\) değerini verir; varsayılan \(n = 100\) ile sonuç yaklaşık on iki haneye kadar doğru çıkar.

Sıkça Sorulan Sorular

Uç noktalarında tekillik bulunan fonksiyonları integre edebilir miyim? Evet — bu, yöntemin en güçlü yönüdür. a veya b noktasındaki integre edilebilir tekillikler sorunsuz biçimde ele alınır.

Periyodiklik neden önemli? Çift üstel kural, periyodik olmayan integrandlar için optimize edilmiştir; periyodik fonksiyonlarda yamuk kuralı daha hızlı yakınsar ve DE yöntemi yanlış sonuç verebilir.

a, b'ye eşitse ne olur? İntegral sıfırdır. a > b ise \(\tfrac{b-a}{2}\) çarpanı işareti taşıdığından sonuç doğru biçimde ters işaretli çıkar.