Calculadora de cuadratura Tanh-Sinh para un intervalo finito [a, b]

Ingresar cálculo

f(x)

Límite inferior a

Límite superior b

Número de subdivisiones n

Resultados

Valor de la integral

0,7468241328

valor aproximado de la integral definida en [a, b]

Método	Tanh-Sinh (doble exponencial)
Subdivisiones n	100
Evaluaciones de la función utilizadas	201

¿Qué es la cuadratura Tanh-Sinh?

La cuadratura Tanh-Sinh, conocida también como regla doble exponencial (DE), es un método de integración numérica que destaca al evaluar integrales definidas en un intervalo finito [a, b], sobre todo cuando el integrando presenta singularidades en los extremos. Funciona aplicando el cambio de variable \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\), que lleva los extremos a \(t = \pm\infty\). Cerca de esos extremos la contribución del integrando decae de forma doble exponencial, de modo que incluso funciones que se disparan en a o en b (como \(1/\sqrt{1-x^2}\)) pueden integrarse con gran precisión. Esta herramienta es de matemática universal y se aplica en cualquier lugar.

El cambio de variable doblemente exponencial mapea la recta real sobre (-1, 1), agrupando los nodos hacia los extremos.

Cómo usarla

Introduce tu función f(x) con notación estándar (operadores + - * / ^, paréntesis y funciones como sin, cos, exp, log, sqrt, abs, además de las constantes pi y e). Indica el límite inferior a, el límite superior b y el número de subdivisiones n, que controla la densidad de nodos. Un n mayor mejora la precisión a costa de más cálculo; un rango práctico habitual es de 50 a 400. El integrando debe ser analítico en el intervalo abierto (las singularidades en los extremos no son problema) y no debe ser periódico.

La fórmula explicada

Primero se normaliza el intervalo a [-1, 1] con \(x = \tfrac{b-a}{2}\,u + \tfrac{a+b}{2}\) y \(dx = \tfrac{b-a}{2}\,du\). La regla DE emplea entonces los nodos \(t_k = k\,h\), las abscisas \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\) y los pesos \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\). La integral se aproxima como $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$ Los nodos cuyo peso se anula por desbordamiento inferior (los extremos saturados) se omiten, evitando así la evaluación en las fronteras potencialmente singulares.

Los nodos se agrupan cerca de los extremos a y b, por lo que las singularidades en los extremos se tratan con precisión.

Ejemplo resuelto

Integra \(f(x) = \exp(-x^2)\) en [0, 1]. El valor exacto es \(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0{,}7468241\). Con un paso grueso (\(h = 0{,}5\), \(N = 4\)) la regla ya devuelve alrededor de \(0{,}7467\); con el valor por defecto \(n = 100\) coincide hasta unos doce dígitos.

Preguntas frecuentes

¿Puedo integrar funciones con singularidades en los extremos? Sí; esa es precisamente la principal fortaleza del método. Las singularidades integrables en a o en b se manejan sin dificultad.

¿Por qué importa la periodicidad? La regla doble exponencial está afinada para integrandos no periódicos; con funciones periódicas la regla del trapecio converge más rápido y la DE puede resultar imprecisa.

¿Qué pasa si a es igual a b? La integral vale cero. Si a > b el resultado queda correctamente negado, porque el factor \((b-a)/2\) arrastra el signo.