![有限區間 [a, b] 的 Tanh-Sinh 求積法計算器](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/thumb-flat-49552738d5/tanh-sinh-quadrature-calculator.png)
什麼是 Tanh-Sinh 求積法？
Tanh-Sinh 求積法又稱為雙重指數（Double Exponential，簡稱 DE）法則，是一種數值積分方法，特別擅長計算有限區間 \([a, b]\) 上的定積分——尤其當被積函數在端點處出現奇異性時更能展現威力。它的原理是套用變數變換 \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t)\right)\)，將兩端點對應到 \(t = \pm\infty\)。在這些端點附近，被積函數的貢獻會以雙重指數的速度衰減，因此即便函數在 \(a\) 或 \(b\) 處發散（例如 \(\tfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)），仍能精確積分。本工具屬於通用數學，放諸四海皆準。
使用方法
請以標準寫法輸入函數 \(f(x)\)（運算子可用 + - * / ^、括號，以及 sin、cos、exp、log、sqrt、abs 等函數，並支援常數 pi 與 e）。接著填入積分下限 \(a\)、上限 \(b\)，以及控制節點密度的細分數 \(n\)。\(n\) 越大精度越高，但計算量也隨之增加；實務上 50 至 400 是常見的範圍。被積函數在開區間上必須是解析的（端點奇異性無妨），且不可為週期函數。
公式說明
首先以 \(x = \tfrac{b-a}{2}u + \tfrac{a+b}{2}\) 及 \(dx = \tfrac{b-a}{2}\,du\) 將區間正規化為 \([-1, 1]\)。DE 法則接著使用節點 \(t_k = k\,h\)、橫座標 \(u_k = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)\)，以及權重 \(w_k = \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(t_k)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(t_k)\right)}\)。積分近似值為 $$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\, h \sum_{k=-N}^{N} w_k\, f\!\left(\frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}\,x_k\right)$$ \(\tfrac{b-a}{2} \cdot h \cdot w_k \cdot f(x(u_k))\) 的總和。權重因下溢而歸零的節點（即飽和的端點）會被略過，藉此避免在可能存在奇異性的邊界上進行計算。
實例演算
計算 \(f(x) = \exp(-x^2)\) 在 \([0, 1]\) 上的積分。精確值為 \(\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\cdot\operatorname{erf}(1) \approx 0.7468241\)。即使採用較粗的步長（\(h = 0.5\)、\(N = 4\)），本法則也已能得出約 \(0.7467\)；若使用預設的 \(n = 100\)，則精確度可達約十二位數。
常見問題
可以積分在端點處有奇異性的函數嗎？可以——這正是本方法的核心優勢。在 \(a\) 或 \(b\) 處的可積奇異性都能妥善處理。
為什麼週期性會有影響？雙重指數法則是為非週期被積函數量身打造的；面對週期函數時，梯形法則收斂更快，而 DE 法則反而可能不準確。
如果 a 等於 b 會怎樣？積分值為零。若 \(a > b\)，由於 \(\tfrac{b-a}{2}\) 這個係數帶有正負號，結果會正確地變為負值。
