這個計算器的用途
這個工具會利用雙指數（DE）求積法（又稱 Tanh-Sinh 法），計算單變數函數 \(f(x)\) 在有限區間 \([a, b]\) 上的定積分。DE 求積法是處理有限區間時最可靠的通用方法之一，尤其擅長應付在端點處發散的被積函數，例如 \(1/\sqrt{x}\) 或 \(\log(x)\)——這類情況往往讓一般的高斯法或辛普森法束手無策。
使用方式
請在「被積函數 \(f(x)\)」欄位中以一般數學語法輸入函數，可使用 + - * / ^、括號，以及下列函數 sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs，常數則有 pi 與 e。接著輸入下限 \(a\) 與上限 \(b\)，選擇要計算到幾位有效數字，然後送出。奇異點只允許出現在端點 \(a\) 與 \(b\)；除此之外，函數在開區間 \((a, b)\) 上必須為解析函數，且不應為週期函數。
公式說明
首先透過 \(x(u) = \frac{(b+a)+(b-a)u}{2}\) 將區間映射到 \([-1, 1]\)。接著以 DE 變換 \(u = \tanh\left(\frac{\pi}{2}\sinh t\right)\) 把整條直線拉伸開來：當 \(t\) 增大時，\(u\) 會以超指數的速度逼近端點，同時權重 \(g'(t)\) 也以同樣快的速度收縮趨近於零。由於節點永遠不會剛好落在 \(a\) 或 \(b\) 上，端點的奇異點實際上從未被代入計算——也就等於被「馴服」了。變換後的積分接著以步長為 \(h\) 的簡單梯形法求和，並不斷將 \(h\) 減半，直到結果不再變動為止。
$$\int_{\text{a}}^{\text{b}} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$
$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Lower limit} \\ b &= \text{Upper limit} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right.$$
實例演算
以 \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) 在 \([0, 1]\) 為例，其精確值為 \([2\sqrt{x}]\) 從 \(0\) 到 \(1\)，即等於 \(2\)。即使只用粗略的 7 點 DE 網格（\(h = 0.5\)），結果也已約為 \(1.94\)；持續細化 \(h\) 後，估計值便趨近 \(2.000000000000000\)。再以無奇異點的 \(f(x) = x^2\) 在 \([0, 1]\) 驗證，可得 \(1/3 = 0.3333333333333\)。
常見問題
能處理區間內部的奇異點嗎？不行——DE 法只容許奇異點出現在端點。若奇異點位於內部某點 \(c\)，請把積分拆成 \([a, c]\) 與 \([c, b]\) 兩段，再將兩者的結果相加。
為什麼它不適合週期函數？對於平滑的週期被積函數，單純的梯形法本身就已能達到指數級收斂，因此 DE 的變數變換反而會拖慢速度。
有效數字設定有什麼作用？它決定了判斷何時停止細化的相對容許誤差，並據此對顯示的數值進行四捨五入。
