Ce que fait ce calculateur
Cet outil évalue l'intégrale définie d'une fonction à une variable \(f(x)\) sur un intervalle fini \([a, b]\) grâce à la quadrature double-exponentielle (DE), également appelée méthode Tanh-Sinh. La quadrature DE compte parmi les méthodes polyvalentes les plus fiables pour les intervalles finis et excelle notamment lorsque l'intégrande explose à une borne, comme \(1/\sqrt{x}\) ou \(\log(x)\), là où les règles de Gauss ou de Simpson classiques montrent leurs limites.
Mode d'emploi
Saisissez l'intégrande dans le champ Intégrande \(f(x)\) avec une syntaxe mathématique usuelle : + - * / ^, des parenthèses et les fonctions sqrt, exp, log, ln, sin, cos, tan, asin, acos, atan, sinh, cosh, tanh, abs, ainsi que les constantes pi et e. Indiquez la borne inférieure \(a\) et la borne supérieure \(b\), choisissez le nombre de chiffres significatifs visés, puis validez. Les singularités ne sont admises qu'aux bornes \(a\) et \(b\) ; ailleurs, la fonction doit être analytique sur l'intervalle ouvert \((a, b)\) et ne doit pas être périodique.
La formule expliquée
L'intervalle est d'abord ramené à \([-1, 1]\) par \(x(u) = ((b+a)+(b-a)u)/2\). Ensuite, la transformation DE \(u = \tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh t\right)\) étire la droite : à mesure que \(t\) croît, \(u\) tend vers les bornes de façon super-exponentielle tandis que le poids \(g'(t)\) s'effondre vers zéro tout aussi vite. Comme les nœuds ne tombent jamais exactement sur \(a\) ou \(b\), la singularité aux bornes n'est jamais réellement évaluée — elle est « apprivoisée ». L'intégrale transformée est ensuite sommée par une simple règle des trapèzes de pas \(h\), et l'on divise \(h\) par deux jusqu'à ce que le résultat se stabilise.
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \;\approx\; \frac{b-a}{2}\,h\sum_{k} w_k\, f\!\left(x_k\right)$$$$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \text{Borne inférieure} \\ b &= \text{Borne supérieure} \\ x_k &= \tfrac{b+a}{2} + \tfrac{b-a}{2}\tanh\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right) \\ w_k &= \dfrac{\tfrac{\pi}{2}\cosh(k h)}{\cosh^{2}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\sinh(k h)\right)} \end{aligned} \right.$$
Exemple détaillé
Pour \(f(x) = 1/\sqrt{x}\) sur \([0, 1]\), la valeur exacte vaut \(\left[2\sqrt{x}\right]_0^1 = 2\). Une grille DE grossière de 7 points (\(h = 0{,}5\)) donne déjà environ \(1{,}94\) ; en affinant \(h\), l'estimation converge vers \(2{,}000000000000000\). Un test sans singularité, \(f(x) = x^2\) sur \([0, 1]\), renvoie \(1/3 = 0{,}3333333333333\).
FAQ
Peut-on traiter une singularité à l'intérieur de l'intervalle ? Non — la méthode DE ne tolère les singularités qu'aux bornes. Pour une singularité interne en \(c\), scindez l'intégrale en \([a, c]\) et \([c, b]\), puis additionnez les deux résultats.
Pourquoi est-elle inadaptée aux fonctions périodiques ? Pour des intégrandes périodiques régulières, la simple règle des trapèzes converge déjà de façon exponentielle ; le changement de variable DE ne fait alors que ralentir le calcul.
À quoi sert le réglage des chiffres ? Il fixe la tolérance relative qui décide de l'arrêt de l'affinement, et il arrondit la valeur affichée en conséquence.
