Calculatrice de multiplication de matrices

Entrez le calcul

Dimensions des matrices : A est 2×2, B est 2×2 (le résultat est 2×2)

A₁₁

A₁₂

A₂₁

A₂₂

B₁₁

B₁₂

B₂₁

B₂₂

Résultats

Matrice produit AB

19

22

43

50

Matrice résultante 2×2

C₁₁	19
C₁₂	22
C₂₁	43
C₂₂	50

Qu'est-ce que la multiplication de matrices ?

La multiplication de matrices combine deux matrices en une seule matrice produit. Pour deux matrices 2×2 A et B, le produit AB est une autre matrice 2×2 dont chaque coefficient s'obtient en multipliant une ligne de A par une colonne de B, puis en additionnant les résultats : c'est la fameuse règle du produit « ligne par colonne », ou produit scalaire. Cette calculatrice traite le cas courant des matrices 2×2, omniprésentes en algèbre linéaire, en infographie et en physique.

Comment utiliser cette calculatrice

Saisissez les quatre nombres de la matrice A (\(A_{11}\), \(A_{12}\), \(A_{21}\), \(A_{22}\)) ainsi que les quatre nombres de la matrice B (\(B_{11}\), \(B_{12}\), \(B_{21}\), \(B_{22}\)). Lancez le calcul et l'outil affiche la matrice produit AB complète au format 2×2. Les nombres décimaux et négatifs sont entièrement pris en charge.

La formule expliquée

La règle générale s'écrit \((AB)_{ij} = \sum_{k} A_{ik} \times B_{kj}\). Pour des matrices 2×2, elle se développe en quatre équations :

$$\left\{ \begin{aligned} C_{11} &= A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} \\ C_{12} &= A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ C_{21} &= A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} \\ C_{22} &= A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{aligned} \right.$$

Attention : la multiplication de matrices n'est généralement pas commutative — dans la plupart des cas, \(AB \neq BA\).

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Chaque élément du produit provient d'une ligne de A combinée à une colonne de B.

Exemple résolu

Soit \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}\).

$$\begin{aligned} C_{11} &= 1\times 5 + 2\times 7 = 5 + 14 = \mathbf{19} \\ C_{12} &= 1\times 6 + 2\times 8 = 6 + 16 = \mathbf{22} \\ C_{21} &= 3\times 5 + 4\times 7 = 15 + 28 = \mathbf{43} \\ C_{22} &= 3\times 6 + 4\times 8 = 18 + 32 = \mathbf{50} \end{aligned}$$

On obtient donc \(AB = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix}\).

Une multiplication 2×2 détaillée : chaque case du résultat est la somme de deux produits.

Questions fréquentes

La multiplication de matrices est-elle commutative ? Non. En général, \(AB \neq BA\) : l'ordre des matrices a donc son importance.

Quelles tailles de matrices peut-on multiplier ? Le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B. Cet outil se concentre sur la multiplication d'une matrice 2×2 par une matrice 2×2, qui donne toujours un résultat 2×2.

Puis-je saisir des valeurs négatives ou décimales ? Oui. Tous les nombres réels sont acceptés, y compris les nombres négatifs et décimaux.