¿Qué es la multiplicación de matrices?
La multiplicación de matrices combina dos matrices en una única matriz producto. Para dos matrices 2×2 A y B, el producto AB es otra matriz 2×2 en la que cada elemento se obtiene multiplicando una fila de A por una columna de B y sumando los resultados: es la regla del «producto escalar» fila por columna. Esta calculadora resuelve el caso 2×2, uno de los más habituales en álgebra lineal, gráficos por ordenador y física.
Cómo usar esta calculadora
Introduce los cuatro números de la matriz A (\(\text{A}_{11}\), \(\text{A}_{12}\), \(\text{A}_{21}\), \(\text{A}_{22}\)) y los cuatro números de la matriz B (\(\text{B}_{11}\), \(\text{B}_{12}\), \(\text{B}_{21}\), \(\text{B}_{22}\)). Pulsa calcular y la herramienta te devolverá la matriz producto AB completa de tamaño 2×2. Admite tanto decimales como números negativos sin problema.
La fórmula explicada
La regla general es \((AB)_{ij} = \sum_{k} \text{A}_{ik} \times \text{B}_{kj}\). Para matrices 2×2 esto se desarrolla en cuatro ecuaciones:
$$\left\{ \begin{aligned} C_{11} &= \text{A}_{11}\,\text{B}_{11} + \text{A}_{12}\,\text{B}_{21} \\ C_{12} &= \text{A}_{11}\,\text{B}_{12} + \text{A}_{12}\,\text{B}_{22} \\ C_{21} &= \text{A}_{21}\,\text{B}_{11} + \text{A}_{22}\,\text{B}_{21} \\ C_{22} &= \text{A}_{21}\,\text{B}_{12} + \text{A}_{22}\,\text{B}_{22} \end{aligned} \right.$$Ten en cuenta que la multiplicación de matrices, por lo general, no es conmutativa: en la mayoría de los casos \(AB \neq BA\).
Ejemplo resuelto
Sean A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]].
$$\begin{aligned} C_{11} &= 1\times5 + 2\times7 = 5 + 14 = \textbf{19} \\ C_{12} &= 1\times6 + 2\times8 = 6 + 16 = \textbf{22} \\ C_{21} &= 3\times5 + 4\times7 = 15 + 28 = \textbf{43} \\ C_{22} &= 3\times6 + 4\times8 = 18 + 32 = \textbf{50} \end{aligned}$$Por tanto, AB = [[19, 22], [43, 50]].
Preguntas frecuentes
¿Es conmutativa la multiplicación de matrices? No. En general \(AB \neq BA\), así que el orden de las matrices importa.
¿Qué tamaños se pueden multiplicar? El número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B. Esta herramienta se centra en la multiplicación de 2×2 por 2×2, que siempre da como resultado una matriz 2×2.
¿Puedo usar valores negativos o decimales? Sí. Se aceptan números reales de cualquier tipo, incluidos negativos y decimales.
