¿Qué es la multiplicación de matrices 2×2?

Multiplicar matrices consiste en combinar dos matrices en una única matriz producto. Para dos matrices 2×2 A y B, el producto $C = A \cdot B$ también es una matriz 2×2. Cada elemento de C se obtiene tomando una fila de A y una columna de B, multiplicando los elementos correspondientes y sumando los resultados: es el clásico producto escalar de «fila por columna». Esta calculadora obtiene los cuatro elementos de C a partir de los ocho números que introduces.

Cómo usar esta calculadora

Introduce los cuatro elementos de la matriz A (A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂) y los cuatro elementos de la matriz B en el mismo orden, fila por fila. Pulsa calcular y la herramienta te devuelve la matriz producto C dispuesta en una cuadrícula 2×2, junto con cada uno de sus elementos por separado. Los valores pueden ser positivos, negativos o decimales.

La fórmula explicada

Para matrices 2×2 la regla es:

$$c_{11} = a_{11}\cdot b_{11} + a_{12}\cdot b_{21}$$$$c_{12} = a_{11}\cdot b_{12} + a_{12}\cdot b_{22}$$$$c_{21} = a_{21}\cdot b_{11} + a_{22}\cdot b_{21}$$$$c_{22} = a_{21}\cdot b_{12} + a_{22}\cdot b_{22}$$

En general, el elemento $c_{ij}$ es la suma, sobre $k$, de $a_{ik}\cdot b_{kj}$. Ten en cuenta que la multiplicación de matrices no es conmutativa: $A \cdot B$ suele ser distinto de $B \cdot A$.

Diagrama que muestra una fila de la matriz A multiplicada por una columna de la matriz B para formar un elemento de la matriz producto C — Cada elemento de C es el producto escalar de una fila de A y una columna de B.

Ejemplo resuelto

Sea $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$. Entonces:

$$c_{11} = 1\cdot 5 + 2\cdot 7 = 19$$$$c_{12} = 1\cdot 6 + 2\cdot 8 = 22$$$$c_{21} = 3\cdot 5 + 4\cdot 7 = 43$$$$c_{22} = 3\cdot 6 + 4\cdot 8 = 50$$

Por tanto, $C = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{bmatrix}$.

Cálculo paso a paso de las cuatro entradas de una matriz producto 2x2 — Las cuatro entradas del producto c11, c12, c21, c22 combinan cada una dos multiplicaciones.

Más Ejemplos Resueltos

Cada producto $C = A \cdot B$ se obtiene tomando el producto punto de una fila de $A$ con una columna de $B$. La entrada $C_{ij}$ utiliza la fila $i$ de $A$ y la columna $j$ de $B$: $C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}$.

Ejemplo 1 — Entradas negativas y decimales

Sea $A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}$.

$C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5$
$C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75$
$C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4$
$C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2$

Por lo tanto, $C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$. La entrada superior izquierda es -5.

Ejemplo 2 — Multiplicación por la matriz identidad

Sea $A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}$ e $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Multiplicar cualquier matriz por la identidad devuelve la matriz original.

$C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7$
$C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2$
$C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3$
$C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5$

Por lo tanto, $A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A$, confirmando que $I$ actúa como la identidad multiplicativa.

Ejemplo 3 — Demostración de que $A \cdot B \neq B \cdot A$

Sea $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$.

Primero, $A \cdot B$:

$C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10$
$C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13$
$C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20$
$C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27$

$A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}$; la entrada superior izquierda es 10.

Ahora invirtiendo el orden, $B \cdot A$:

$C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3$
$C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4$
$C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23$
$C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34$

$B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}$; la entrada superior izquierda es 3.

Dado que $\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}$, la multiplicación de matrices no es conmutativa: el orden de los factores es importante.

Definiciones y Glosario

Matriz: Un arreglo rectangular de números organizados en filas y columnas, escrito entre corchetes. Su tamaño se indica como (filas) × (columnas).
Matriz 2×2: Una matriz cuadrada con dos filas y dos columnas, que contiene exactamente cuatro entradas: $\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}$.
Entrada / elemento ($a_{ij}$): Un solo número dentro de la matriz. La notación de subíndice $a_{ij}$ identifica su posición: $i$ es el número de fila y $j$ es el número de columna. Por ejemplo, $a_{21}$ es la entrada en la fila 2, columna 1.
Fila: Una línea horizontal de entradas. En una matriz 2×2, la fila 1 es $[a_{11}\ \ a_{12}]$ y la fila 2 es $[a_{21}\ \ a_{22}]$.
Columna: Una línea vertical de entradas. En una matriz 2×2, la columna 1 es $\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}$ y la columna 2 es $\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}$.
Producto punto: La suma de los productos por pares de entradas correspondientes de una fila y una columna. Cada entrada de la matriz producto es el producto punto de una fila de $A$ con una columna de $B$, por ejemplo $C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}$.
Matriz producto $C$: El resultado de multiplicar dos matrices, $C = A \cdot B$. Para matrices 2×2, $C$ también es 2×2, donde cada entrada $C_{ij}$ se forma a partir de la fila $i$ de $A$ y la columna $j$ de $B$.
Matriz identidad ($I$): La matriz cuadrada con 1's en la diagonal principal y 0's en las demás posiciones. La identidad 2×2 es $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Satisface $A \cdot I = I \cdot A = A$, actuando como el número 1 en la multiplicación.
Conmutatividad: Una propiedad donde el orden de los operandos no cambia el resultado (por ejemplo, $2 \times 3 = 3 \times 2$). La multiplicación de matrices no es conmutativa en general: generalmente $A \cdot B \neq B \cdot A$, por lo que los factores izquierdo y derecho deben mantenerse en su orden establecido.

Preguntas frecuentes

¿Es $A \cdot B$ lo mismo que $B \cdot A$? No. La multiplicación de matrices no es conmutativa en general, así que el orden importa.

¿Puedo multiplicar matrices de distinto tamaño? Dos matrices solo se pueden multiplicar cuando el número de columnas de la primera coincide con el número de filas de la segunda. Dos matrices 2×2 siempre cumplen esta condición.

¿Qué es la matriz identidad? La identidad 2×2 es $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Multiplicar cualquier matriz por ella deja la matriz sin cambios.

Calculadora de multiplicación de matrices 2×2

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