2×2 행렬 곱셈이란?
행렬 곱셈은 두 행렬을 하나의 곱 행렬로 결합하는 연산입니다. 두 개의 2×2 행렬 A와 B에 대해, 곱 \(C = A \cdot B\) 역시 2×2 행렬이 됩니다. C의 각 원소는 A의 한 행과 B의 한 열을 골라 대응하는 원소끼리 곱한 뒤 그 결과를 모두 더해서 구합니다. 즉 '행 곱하기 열' 형태의 내적(dot product)인 셈이죠. 이 계산기는 입력한 8개의 숫자로부터 C의 네 원소를 모두 계산해 줍니다.
계산기 사용법
먼저 행렬 A의 네 원소(A₁₁, A₁₂, A₂₁, A₂₂)를 입력하고, 같은 방식으로 행 순서에 맞춰 행렬 B의 네 원소를 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 곱 행렬 C가 2×2 격자 형태로 표시되며, 각 원소 값도 함께 확인할 수 있습니다. 양수, 음수, 소수 모두 입력할 수 있습니다.
공식 한눈에 보기
2×2 행렬의 경우 곱셈 규칙은 다음과 같습니다.
$$c_{11} = a_{11} \cdot b_{11} + a_{12} \cdot b_{21}$$ $$c_{12} = a_{11} \cdot b_{12} + a_{12} \cdot b_{22}$$ $$c_{21} = a_{21} \cdot b_{11} + a_{22} \cdot b_{21}$$ $$c_{22} = a_{21} \cdot b_{12} + a_{22} \cdot b_{22}$$일반적으로 원소 \(c_{ij}\)는 k에 대한 \(a_{ik} \cdot b_{kj}\)의 합으로 정의됩니다. $$c_{ij} = \sum_{k=1}^{2} a_{ik}\, b_{kj}$$ 한 가지 주의할 점은 행렬 곱셈에는 교환법칙이 성립하지 않는다는 것입니다. 즉, \(A \cdot B\)와 \(B \cdot A\)는 대개 서로 다른 결과를 냅니다.
예제 풀이
A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[5, 6], [7, 8]]이라고 하면 다음과 같이 계산됩니다.
$$c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$$ $$c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$$ $$c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$$ $$c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$$따라서 C = [[19, 22], [43, 50]]입니다.
추가 풀이된 예제
각 곱 \(C = A \cdot B\)는 \(A\)의 행과 \(B\)의 열의 내적을 구해서 얻습니다. 항목 \(C_{ij}\)는 \(A\)의 행 \(i\)와 \(B\)의 열 \(j\)를 사용합니다: \(C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}\).
예제 1 — 음수와 소수 항목
\(A = \begin{bmatrix} -2 & 1.5 \\ 0.5 & -3 \end{bmatrix}\)이고 \(B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 0.5 \end{bmatrix}\)라고 하겠습니다.
- \(C_{11} = (-2)(4) + (1.5)(2) = -8 + 3 = -5\)
- \(C_{12} = (-2)(-1) + (1.5)(0.5) = 2 + 0.75 = 2.75\)
- \(C_{21} = (0.5)(4) + (-3)(2) = 2 - 6 = -4\)
- \(C_{22} = (0.5)(-1) + (-3)(0.5) = -0.5 - 1.5 = -2\)
따라서 \(C = \begin{bmatrix} -5 & 2.75 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}\). 왼쪽 위 항목은 -5입니다.
예제 2 — 항등 행렬로 곱하기
\(A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}\)이고 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)라고 하겠습니다. 어떤 행렬에 항등 행렬을 곱하면 원래 행렬을 반환합니다.
- \(C_{11} = (7)(1) + (-2)(0) = 7 + 0 = 7\)
- \(C_{12} = (7)(0) + (-2)(1) = 0 - 2 = -2\)
- \(C_{21} = (3)(1) + (5)(0) = 3 + 0 = 3\)
- \(C_{22} = (3)(0) + (5)(1) = 0 + 5 = 5\)
따라서 \(A \cdot I = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} = A\)이므로, \(I\)가 곱셈 항등원으로 작용함을 확인할 수 있습니다.
예제 3 — \(A \cdot B \neq B \cdot A\) 보여주기
\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)이고 \(B = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}\)라고 하겠습니다.
먼저 \(A \cdot B\):
- \(C_{11} = (1)(0) + (2)(5) = 0 + 10 = 10\)
- \(C_{12} = (1)(1) + (2)(6) = 1 + 12 = 13\)
- \(C_{21} = (3)(0) + (4)(5) = 0 + 20 = 20\)
- \(C_{22} = (3)(1) + (4)(6) = 3 + 24 = 27\)
\(A \cdot B = \begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix}\); 왼쪽 위 항목은 10입니다.
이제 순서를 바꿔서 \(B \cdot A\):
- \(C_{11} = (0)(1) + (1)(3) = 0 + 3 = 3\)
- \(C_{12} = (0)(2) + (1)(4) = 0 + 4 = 4\)
- \(C_{21} = (5)(1) + (6)(3) = 5 + 18 = 23\)
- \(C_{22} = (5)(2) + (6)(4) = 10 + 24 = 34\)
\(B \cdot A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\); 왼쪽 위 항목은 3입니다.
\(\begin{bmatrix} 10 & 13 \\ 20 & 27 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 23 & 34 \end{bmatrix}\)이므로, 행렬 곱셈은 교환법칙을 만족하지 않습니다: 인수의 순서가 중요합니다.
정의 & 용어
- 행렬
- 행과 열에 배열된 수들의 직사각형 배열로, 괄호 사이에 쓰입니다. 크기는 (행) × (열)로 주어집니다.
- 2×2 행렬
- 2개의 행과 2개의 열을 가진 정사각 행렬로, 정확히 4개의 항목을 포함합니다: \(\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix}\).
- 항목 / 원소 (\(a_{ij}\))
- 행렬 안의 단일 수입니다. 아래첨자 표기법 \(a_{ij}\)는 위치를 나타냅니다: \(i\)는 행 번호이고 \(j\)는 열 번호입니다. 예를 들어, \(a_{21}\)은 행 2, 열 1의 항목입니다.
- 행
- 항목들의 수평선입니다. 2×2 행렬에서, 행 1은 \([a_{11}\ \ a_{12}]\)이고 행 2는 \([a_{21}\ \ a_{22}]\)입니다.
- 열
- 항목들의 수직선입니다. 2×2 행렬에서, 열 1은 \(\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \end{bmatrix}\)이고 열 2는 \(\begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \end{bmatrix}\)입니다.
- 내적
- 행과 열의 대응되는 항목들의 쌍별 곱의 합입니다. 곱 행렬의 각 항목은 \(A\)의 행과 \(B\)의 열의 내적입니다(예: \(C_{11} = A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21}\)).
- 곱 행렬 \(C\)
- 두 행렬을 곱한 결과, \(C = A \cdot B\)입니다. 2×2 행렬의 경우, \(C\)도 2×2이며, 각 항목 \(C_{ij}\)는 \(A\)의 행 \(i\)와 \(B\)의 열 \(j\)로부터 만들어집니다.
- 항등 행렬 (\(I\))
- 주 대각선 위의 1과 다른 곳의 0으로 이루어진 정사각 행렬입니다. 2×2 항등 행렬은 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)입니다. \(A \cdot I = I \cdot A = A\)를 만족하며, 곱셈에서 수 1처럼 작용합니다.
- 교환법칙
- 피연산자의 순서가 결과를 변경하지 않는 성질입니다(예: \(2 \times 3 = 3 \times 2\)). 행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않습니다: 보통 \(A \cdot B \neq B \cdot A\)이므로, 왼쪽과 오른쪽 인수를 명시된 순서대로 유지해야 합니다.
자주 묻는 질문
A·B와 B·A는 같은가요? 아닙니다. 행렬 곱셈은 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않으므로 곱하는 순서가 중요합니다.
크기가 다른 행렬도 곱할 수 있나요? 두 행렬은 앞 행렬의 열 개수와 뒤 행렬의 행 개수가 같을 때만 곱할 수 있습니다. 두 개의 2×2 행렬은 이 조건을 항상 만족합니다.
단위행렬이란 무엇인가요? 2×2 단위행렬은 [[1, 0], [0, 1]]입니다. 어떤 행렬에 단위행렬을 곱해도 원래 행렬은 그대로 유지됩니다.
