행렬의 스칼라 곱셈이란?
스칼라 곱셈은 선형대수에서 가장 기본이 되는 연산 중 하나입니다. 행렬 A와 하나의 실수 λ(스칼라)가 주어졌을 때, 스칼라 곱 \(\lambda \times A\)는 A의 모든 원소 하나하나에 λ를 곱해서 만듭니다. 그 결과로 A와 행과 열의 개수가 똑같은 새로운 행렬 C가 나옵니다. 행렬끼리의 곱셈과 달리 차원을 맞출 필요가 없으며, 어떤 형태의 직사각형 행렬에도 그대로 적용됩니다.
계산기 사용법
먼저 행렬의 행(\(i\))과 열(\(j\)) 개수를 정합니다. 그런 다음 입력란에 행렬 A의 값을 입력하는데, 한 줄에 한 행씩 적고 같은 행 안의 값들은 쉼표나 공백으로 구분합니다. 스칼라 λ를 입력하세요. 음수, 소수, 또는 1.5e-3 같은 지수 표기로도 적을 수 있습니다. 표시할 유효숫자 자릿수를 고른 뒤 실행하면, 원래 차원을 그대로 유지한 결과 행렬 \(\lambda \times A\)가 출력됩니다.
공식 자세히 보기
규칙은 원소별로 적용됩니다. 모든 행 i와 열 j에 대해 $$(\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}, \quad i = 1 \ldots \text{Rows}, \; j = 1 \ldots \text{Cols}$$ 입니다. 각 원소가 독립적으로 배율 조정되기 때문에, 스칼라에 대해 교환법칙(\(\lambda A = A\lambda\))과 분배법칙(\(\lambda \times (A + B) = \lambda A + \lambda B\))이 모두 성립합니다. 스칼라가 0이면 영행렬이 되고, 1이면 A가 그대로 유지되며, -1이면 A의 부호를 뒤집은 행렬이 됩니다.
풀이 예제
A = [[1, 2], [3, 4]], λ = -5라고 합시다. 그러면 \(c_{11} = -5 \times 1 = -5\), \(c_{12} = -5 \times 2 = -10\), \(c_{21} = -5 \times 3 = -15\), \(c_{22} = -5 \times 4 = -20\)이 됩니다. 결과는 C = [[-5, -10], [-15, -20]]입니다. 두 번째 예로, A = [[2, -1, 0], [4, 3, 5]]에 λ = 0.5를 곱하면 [[1, -0.5, 0], [2, 1.5, 2.5]]가 나옵니다.
자주 묻는 질문
행렬이 꼭 정사각형이어야 하나요? 아닙니다. 행벡터와 열벡터를 포함해 어떤 직사각형 형태든 가능하며, 결과도 같은 형태를 유지합니다.
빈 칸이 있으면 어떻게 되나요? 비어 있는 값은 0으로 처리됩니다. 따라서 길이가 짧은 행은 선택한 열 개수만큼 0으로 채워집니다.
스칼라가 분수나 음수여도 되나요? 네. 음수, 소수, 지수 표기를 모두 지원하며, 스칼라가 0이면 영행렬이 됩니다.
