Что такое умножение матрицы на скаляр?
Умножение на скаляр — одна из базовых операций линейной алгебры. Если у нас есть матрица A и одно вещественное число λ (скаляр), то произведение λ·A получается умножением каждого отдельного элемента матрицы A на λ. В результате выходит новая матрица C с тем же числом строк и столбцов, что и у A. В отличие от умножения матрицы на матрицу, здесь не нужно согласовывать размерности — операция работает с любой прямоугольной матрицей.
Как пользоваться калькулятором
Сначала задайте число строк (\(i\)) и столбцов (\(j\)) вашей матрицы. Затем введите элементы матрицы A в текстовое поле — по одной строке матрицы на каждую строку текста, разделяя значения внутри строки запятыми или пробелами. Укажите скаляр \(\lambda\) — он может быть отрицательным, дробным или записанным в научной нотации, например 1.5e-3. Выберите, сколько значащих цифр выводить в ответе, и нажмите «Рассчитать». Калькулятор вернёт результирующую матрицу \(\lambda \cdot A\), сохраняя исходные размеры.
Разбор формулы
Правило применяется поэлементно:
$$(\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}, \quad i = 1 \ldots \text{Rows}, \; j = 1 \ldots \text{Cols}$$для каждой строки \(i\) и каждого столбца \(j\). Поскольку все элементы масштабируются независимо, операция коммутативна относительно скаляра (\(\lambda \cdot A\) равно \(A \cdot \lambda\)) и дистрибутивна (\(\lambda \cdot (A + B)\) равно \(\lambda \cdot A + \lambda \cdot B\)). Скаляр 0 даёт нулевую матрицу; скаляр 1 возвращает A без изменений; а скаляр −1 даёт матрицу, противоположную A.
Разбор примера
Пусть A = [[1, 2], [3, 4]] и \(\lambda = -5\). Тогда
$$c_{11} = -5 \times 1 = -5, \quad c_{12} = -5 \times 2 = -10,$$$$c_{21} = -5 \times 3 = -15, \quad c_{22} = -5 \times 4 = -20.$$Результат: C = [[−5, −10], [−15, −20]]. Второй пример: если умножить A = [[2, −1, 0], [4, 3, 5]] на \(\lambda = 0.5\), получим [[1, −0.5, 0], [2, 1.5, 2.5]].
Частые вопросы
Обязательно ли матрица должна быть квадратной? Нет. Подойдёт любая прямоугольная форма, включая строки-векторы и столбцы-векторы. Результат сохраняет ту же форму.
Что будет с пустой ячейкой? Пропущенные элементы считаются равными 0, поэтому короткая строка дополняется нулями до выбранного числа столбцов.
Может ли скаляр быть дробным или отрицательным? Да. Поддерживаются отрицательные числа, десятичные дроби и научная запись, а скаляр 0 даёт нулевую матрицу.
