ما هو ضرب المصفوفة في عدد قياسي؟
يُعدّ الضرب في عدد قياسي (سلمي) من أبسط العمليات الأساسية في الجبر الخطي وأكثرها استخداماً. إذا كانت لدينا مصفوفة A وعدد حقيقي واحد لامدا (العدد القياسي)، فإن حاصل الضرب القياسي لامدا × A يُحسب بضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة A في لامدا. والنتيجة هي مصفوفة جديدة C تحمل العدد ذاته من الصفوف والأعمدة الذي تحمله A. وعلى خلاف ضرب مصفوفة في مصفوفة، لا تحتاج هذه العملية إلى توافق في الأبعاد، وهي تنطبق على أي مصفوفة مستطيلة الشكل.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر أولاً عدد الصفوف (\(i\)) وعدد الأعمدة (\(j\)) في مصفوفتك. ثم أدخل عناصر المصفوفة A في صندوق النص، صفّاً واحداً في كل سطر، مع الفصل بين قيم الصف الواحد بفاصلة أو مسافة. أدخِل العدد القياسي لامدا — ويمكن أن يكون سالباً أو عشرياً أو مكتوباً بالصيغة العلمية مثل \(1.5\text{e-}3\). ثم حدِّد عدد الأرقام المعنوية التي تريد عرضها واضغط للحساب. تعيد الحاسبة المصفوفة الناتجة لامدا × A مع الحفاظ على الأبعاد الأصلية.
شرح الصيغة الرياضية
تُطبَّق القاعدة عنصراً عنصراً:
$$(\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}, \quad i = 1 \ldots \text{Rows}, \; j = 1 \ldots \text{Cols}$$لكل صف \(i\) وعمود \(j\). وبما أن كل عنصر يُضرب بشكل مستقل، فإن العملية إبدالية بالنسبة للعدد القياسي (\(\lambda A = A \lambda\)) كما أنها توزيعية (\(\lambda \cdot (A + B) = \lambda A + \lambda B\)). والعدد القياسي 0 يعطي المصفوفة الصفرية؛ والعدد القياسي 1 يعيد A دون تغيير؛ والعدد القياسي -1 يعيد سالب A (نفي عناصرها).
مثال محلول
لتكن A = [[1, 2], [3, 4]] ولامدا = -5. عندئذٍ \(c_{11} = -5 \times 1 = -5\)، و \(c_{12} = -5 \times 2 = -10\)، و \(c_{21} = -5 \times 3 = -15\)، و \(c_{22} = -5 \times 4 = -20\). والنتيجة هي C = [[-5, -10], [-15, -20]]. وكمثال ثانٍ، إذا ضربنا A = [[2, -1, 0], [4, 3, 5]] في لامدا = 0.5 نحصل على [[1, -0.5, 0], [2, 1.5, 2.5]].
الأسئلة الشائعة
هل يجب أن تكون المصفوفة مربعة؟ لا. تعمل العملية مع أي شكل مستطيل، بما في ذلك المتجهات الصفّية والمتجهات العمودية، وتحتفظ النتيجة بالشكل نفسه.
ماذا يحدث مع الخانة الفارغة؟ تُعامَل القيم المفقودة على أنها 0، لذا يُكمَّل الصف القصير بالأصفار حتى يبلغ عدد الأعمدة المحدد.
هل يمكن أن يكون العدد القياسي كسراً أو عدداً سالباً؟ نعم. الأعداد السالبة والعشرية والصيغة العلمية كلها مدعومة، والعدد القياسي 0 ينتج عنه المصفوفة الصفرية.
