什么是矩阵数乘？
数乘（标量乘法）是线性代数中最基础的运算之一。给定一个矩阵 \(A\) 和一个实数 \(\lambda\)（即标量），数乘结果 \(\lambda A\) 就是把 \(A\) 的每个元素都乘以 \(\lambda\) 后得到的新矩阵。结果矩阵 \(C\) 的行数和列数与 \(A\) 完全相同。与矩阵相乘不同，数乘不需要满足任何维度匹配条件，对任意形状的矩形矩阵都适用。
如何使用本计算器
首先设置矩阵的行数（\(i\)）和列数（\(j\)）。然后在文本框中输入矩阵 \(A\) 的各元素：每行单独占一行，同一行内的数值用逗号或空格分隔。接着填写标量 \(\lambda\)——它可以是负数、小数，也可以用科学计数法表示，例如 \(1.5\mathrm{e}{-3}\)。再选择结果需要保留的有效数字位数，最后点击计算。计算器会返回数乘结果 \(\lambda A\)，并保持原矩阵的维度不变。
公式详解
数乘按元素逐个进行：对每一行 \(i\) 和每一列 \(j\)，都有 $$(\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}, \quad i = 1 \ldots \text{Rows}, \; j = 1 \ldots \text{Cols}$$ 由于每个元素都被独立地缩放，因此该运算对标量满足交换律（\(\lambda A = A\lambda\)）和分配律（\(\lambda(A + B) = \lambda A + \lambda B\)）。当标量为 0 时得到零矩阵；当标量为 1 时矩阵 \(A\) 保持不变；当标量为 \(-1\) 时则得到 \(A\) 的相反矩阵。
计算实例
设 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，\(\lambda = -5\)。则 $$c_{11} = -5 \times 1 = -5, \quad c_{12} = -5 \times 2 = -10, \quad c_{21} = -5 \times 3 = -15, \quad c_{22} = -5 \times 4 = -20.$$ 结果为 \(C = \begin{bmatrix} -5 & -10 \\ -15 & -20 \end{bmatrix}\)。再举一例：把 \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 3 & 5 \end{bmatrix}\) 乘以 \(\lambda = 0.5\)，得到 \(\begin{bmatrix} 1 & -0.5 & 0 \\ 2 & 1.5 & 2.5 \end{bmatrix}\)。
常见问题
矩阵必须是方阵吗？不必。任意矩形矩阵都可以，包括行向量和列向量。结果矩阵保持相同的形状。
单元格留空会怎样？缺失的元素会被当作 0 处理，因此较短的行会用零补齐到所选的列数。
标量可以是分数或负数吗？可以。负数、小数和科学计数法都受支持，标量为 0 时会得到零矩阵。
