Nhân ma trận với số vô hướng là gì?
Phép nhân với số vô hướng là một trong những phép toán cơ bản nhất của đại số tuyến tính. Cho một ma trận A và một số thực λ (số vô hướng), tích vô hướng \(\lambda \cdot A\) được tạo ra bằng cách nhân từng phần tử của A với λ. Kết quả là một ma trận C mới có số hàng và số cột hoàn toàn giống A. Khác với phép nhân hai ma trận, phép toán này không đòi hỏi kích thước phải khớp nhau và áp dụng được cho mọi ma trận hình chữ nhật.
Cách sử dụng máy tính này
Trước tiên, hãy chọn số hàng (i) và số cột (j) của ma trận. Sau đó nhập các phần tử của ma trận A vào ô văn bản, mỗi hàng một dòng, các giá trị trong cùng một hàng cách nhau bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng. Nhập số vô hướng λ — số này có thể là số âm, số thập phân, hoặc viết theo ký hiệu khoa học như 1.5e-3. Chọn số chữ số có nghĩa muốn hiển thị, rồi bấm tính. Máy tính sẽ trả về ma trận kết quả \(\lambda \cdot A\) với kích thước giữ nguyên như ban đầu.
Công thức giải thích
Quy tắc được áp dụng cho từng phần tử:
$$(\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}, \quad i = 1 \ldots \text{Rows}, \; j = 1 \ldots \text{Cols}$$với mọi hàng i và cột j. Vì mỗi phần tử được nhân một cách độc lập, phép toán này có tính giao hoán với số vô hướng (λA bằng Aλ) và tính phân phối (λ·(A + B) bằng λA + λB). Số vô hướng bằng 0 cho ra ma trận không; số vô hướng bằng 1 giữ nguyên A; còn số vô hướng bằng -1 cho ra ma trận đối của A.
Ví dụ minh họa
Cho A = [[1, 2], [3, 4]] và \(\lambda = -5\). Khi đó \(c_{11} = -5 \times 1 = -5\), \(c_{12} = -5 \times 2 = -10\), \(c_{21} = -5 \times 3 = -15\), và \(c_{22} = -5 \times 4 = -20\). Kết quả là C = [[-5, -10], [-15, -20]]. Ở ví dụ thứ hai, nhân A = [[2, -1, 0], [4, 3, 5]] với \(\lambda = 0.5\) ta được [[1, -0.5, 0], [2, 1.5, 2.5]].
Câu hỏi thường gặp
Ma trận có bắt buộc phải vuông không? Không. Mọi hình dạng chữ nhật đều được, kể cả vectơ hàng và vectơ cột. Kết quả giữ nguyên hình dạng đó.
Nếu để trống một ô thì sao? Các phần tử thiếu sẽ được coi là 0, nên một hàng bị ngắn sẽ được thêm số 0 cho đủ số cột đã chọn.
Số vô hướng có thể là phân số hoặc số âm không? Có. Máy tính hỗ trợ đầy đủ số âm, số thập phân và ký hiệu khoa học, còn số vô hướng bằng 0 sẽ cho ra ma trận không.
