¿Qué es la multiplicación de una matriz por un escalar?
La multiplicación por un escalar es una de las operaciones más básicas del álgebra lineal. Dada una matriz A y un único número real lambda (el escalar), el producto lambda por A se obtiene multiplicando cada uno de los elementos de A por lambda. El resultado es una nueva matriz C con exactamente el mismo número de filas y columnas que A. A diferencia del producto de matriz por matriz, aquí no hace falta que las dimensiones coincidan: la operación funciona con cualquier matriz rectangular.
Cómo usar esta calculadora
Empieza eligiendo el número de filas (\(i\)) y de columnas (\(j\)) de tu matriz. A continuación, escribe los elementos de la matriz A en el cuadro de texto, una fila por línea y separando los valores de cada fila con comas o espacios. Introduce el escalar lambda: puede ser negativo, decimal o estar escrito en notación científica, como \(1.5\mathrm{e}{-3}\). Selecciona cuántas cifras significativas quieres mostrar y pulsa enviar. La calculadora devuelve la matriz resultante lambda por A, conservando las dimensiones originales.
La fórmula al detalle
La regla se aplica elemento a elemento:
$$(\lambda \cdot A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}, \quad i = 1 \ldots \text{Filas}, \; j = 1 \ldots \text{Columnas}$$para cada fila \(i\) y columna \(j\). Como cada elemento se escala de forma independiente, la operación es conmutativa respecto al escalar (\(\lambda A = A \lambda\)) y distributiva (\(\lambda \cdot (A + B) = \lambda A + \lambda B\)). Un escalar igual a 0 produce la matriz nula; un escalar igual a 1 devuelve A sin cambios; y un escalar igual a -1 devuelve la opuesta de A.
Ejemplo resuelto
Sea \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) y \(\lambda = -5\). Entonces \(c_{11} = -5 \times 1 = -5\), \(c_{12} = -5 \times 2 = -10\), \(c_{21} = -5 \times 3 = -15\) y \(c_{22} = -5 \times 4 = -20\). El resultado es \(C = \begin{bmatrix} -5 & -10 \\ -15 & -20 \end{bmatrix}\). Como segundo ejemplo, al escalar \(A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 4 & 3 & 5 \end{bmatrix}\) por \(\lambda = 0.5\) se obtiene \(\begin{bmatrix} 1 & -0.5 & 0 \\ 2 & 1.5 & 2.5 \end{bmatrix}\).
Preguntas frecuentes
¿La matriz tiene que ser cuadrada? No. Sirve cualquier forma rectangular, incluidos los vectores fila y los vectores columna. El resultado mantiene la misma forma.
¿Qué pasa si dejo una celda vacía? Los valores que falten se interpretan como 0, de modo que una fila incompleta se rellena con ceros hasta el número de columnas elegido.
¿El escalar puede ser una fracción o un número negativo? Sí. Se admiten números negativos, decimales y notación científica, y un escalar igual a 0 genera la matriz nula.
