¿Qué es la multiplicación de un vector por un escalar?
La multiplicación de un vector por un escalar parte de un único número (un escalar, que aquí denotamos como lambda) y un vector a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\), y produce un nuevo vector c en el que cada componente ha quedado multiplicado por ese escalar. Es una de las dos operaciones fundamentales del álgebra lineal (junto con la suma de vectores) y funciona exactamente igual en cualquier parte: se trata de matemáticas puras, sin unidades ni reglas particulares de ningún país.
Desde el punto de vista geométrico, multiplicar por un escalar positivo estira o encoge el vector en su propia dirección; un escalar negativo, además, lo invierte hacia el sentido opuesto; y un escalar igual a cero lo reduce al vector nulo.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las componentes de tu vector como números separados por comas (por ejemplo, 1, 2, 3) y, a continuación, escribe el escalar lambda. La calculadora multiplica cada componente por lambda y devuelve un vector resultado de la misma dimensión. Se admiten valores negativos, decimales y el cero.
La fórmula
Dados a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) y el escalar lambda, el resultado es
$$\lambda\,\mathbf{a} = \lambda\left(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n\right) = \left(\lambda\,a_1,\ \lambda\,a_2,\ \dots,\ \lambda\,a_n\right)$$De forma equivalente, para cada índice i: \(c_i = \lambda \cdot a_i\). La dimensión de salida siempre coincide con la dimensión de entrada.
Ejemplo resuelto
Sea a = \((1, 2, 3)\) y \(\lambda = 3\). Entonces \(c_1 = 3 \times 1 = 3\), \(c_2 = 3 \times 2 = 6\), \(c_3 = 3 \times 3 = 9\), de modo que \(\mathbf{c} = (3, 6, 9)\). Un segundo ejemplo: \(\mathbf{a} = (-2,\ 0.5,\ 4)\) con \(\lambda = -2\) da como resultado \(\mathbf{c} = (4, -1, -8)\).
Preguntas frecuentes
¿Es esto el producto escalar (producto punto)? No. El producto escalar (producto interno) multiplica dos vectores y devuelve un único número. Aquí multiplicamos un vector por un escalar y obtenemos otro vector.
¿Qué se obtiene con lambda = 0? El vector nulo \((0, 0, \dots, 0)\) de la misma dimensión. Con \(\lambda = 1\) el vector queda igual, y con \(\lambda = -1\) se obtiene el vector opuesto (negado).
¿Cambia la dimensión? Nunca: el vector resultado tiene siempre exactamente el mismo número de componentes que el vector de entrada.
