벡터 스칼라 곱이란?
벡터 스칼라 곱이란 하나의 수(스칼라, 보통 λ로 표기)와 벡터 a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\)를 받아, 모든 성분에 그 스칼라를 곱한 새로운 벡터 c를 만드는 연산입니다. 이는 벡터 덧셈과 더불어 선형대수학의 가장 기본이 되는 두 가지 연산 중 하나이며, 단위나 국가별 규칙이 전혀 없는 순수 수학이므로 어디에서나 동일하게 적용됩니다.
기하학적으로 보면, 양수 스칼라를 곱하면 벡터가 자기 방향을 따라 늘어나거나 줄어들고, 음수 스칼라를 곱하면 길이가 변하는 동시에 방향이 반대로 뒤집힙니다. 스칼라가 0이면 벡터는 영벡터로 사라집니다.
계산기 사용법
벡터의 성분을 쉼표로 구분해 입력하세요 (예: 1, 2, 3). 그런 다음 스칼라 \(\lambda\) 값을 입력합니다. 계산기는 각 성분에 \(\lambda\)를 곱한 뒤, 입력과 같은 차원의 결과 벡터를 돌려줍니다. 음수, 소수, 0 값 모두 사용할 수 있습니다.
공식
벡터 a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\)와 스칼라 \(\lambda\)가 주어지면, 결과는 다음과 같습니다.
$$\lambda\,\mathbf{a} = \lambda\left(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n\right) = \left(\lambda\,a_1,\ \lambda\,a_2,\ \dots,\ \lambda\,a_n\right)$$즉 각 인덱스 \(i\)에 대해 \(c_i = \lambda \cdot a_i\)가 됩니다. 결과 벡터의 차원은 언제나 입력 벡터의 차원과 같습니다.
예제 풀이
a = \((1, 2, 3)\)이고 \(\lambda = 3\)이라고 합시다. 그러면 \(c_1 = 3 \times 1 = 3\), \(c_2 = 3 \times 2 = 6\), \(c_3 = 3 \times 3 = 9\)이므로 c = \((3, 6, 9)\)입니다. 또 다른 예로, a = \((-2, 0.5, 4)\)에 \(\lambda = -2\)를 곱하면 c = \((4, -1, -8)\)이 됩니다.
자주 묻는 질문
이것이 내적(dot product)인가요? 아닙니다. 내적은 두 벡터를 곱해 하나의 수(스칼라)를 반환합니다. 여기서는 벡터 하나에 스칼라 하나를 곱해 다시 벡터를 얻습니다.
\(\lambda = 0\)이면 결과는 무엇인가요? 같은 차원의 영벡터 \((0, 0, \dots, 0)\)가 됩니다. \(\lambda = 1\)이면 벡터가 그대로 유지되고, \(\lambda = -1\)이면 부호가 반대인 벡터(반대 방향 벡터)가 나옵니다.
차원이 바뀌나요? 절대 바뀌지 않습니다. 결과 벡터의 성분 개수는 항상 입력 벡터와 정확히 동일합니다.
