Vektör skaler çarpımı nedir?
Vektör skaler çarpımı, tek bir sayıyı (lambda ile gösterilen bir skaler) ve bir a = \((a_1, a_2, \dots, a_n)\) vektörünü alarak, her bileşeni bu skalerle çarpılmış yeni bir c vektörü üretir. Bu işlem, lineer cebirin iki temel işleminden biridir (diğeri vektör toplamasıdır) ve her yerde aynı şekilde geçerlidir; birimsiz ve ülkeye özgü kuralları olmayan saf bir matematik işlemidir.
Geometrik olarak, pozitif bir skalerle çarpmak vektörü kendi yönünde uzatır veya kısaltır; negatif bir skaler ayrıca onu ters yöne çevirir; sıfır skaleri ise vektörü sıfır vektörüne indirger.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
Vektörünüzün bileşenlerini virgülle ayrılmış sayılar olarak girin (örneğin 1, 2, 3), ardından lambda skalerini girin. Hesaplama aracı her bileşeni lambda ile çarpar ve aynı boyutta bir sonuç vektörü döndürür. Negatif, ondalıklı ve sıfır değerlerinin tümü kabul edilir.
Formül
\(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\) ve lambda skaleri verildiğinde, sonuç
$$\lambda\,\mathbf{a} = \lambda\left(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n\right) = \left(\lambda\,a_1,\ \lambda\,a_2,\ \dots,\ \lambda\,a_n\right)$$olur. Eşdeğer olarak, her \(i\) indisi için: \(c_i = \lambda \cdot a_i\). Çıktı boyutu her zaman girdi boyutuna eşittir.
Çözümlü örnek
\(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) ve \(\lambda = 3\) olsun. O hâlde
$$c_1 = 3 \times 1 = 3, \quad c_2 = 3 \times 2 = 6, \quad c_3 = 3 \times 3 = 9$$olur ve \(\mathbf{c} = (3, 6, 9)\) bulunur. İkinci bir örnek: \(\mathbf{a} = (-2,\, 0.5,\, 4)\) ve \(\lambda = -2\) için sonuç \(\mathbf{c} = (4, -1, -8)\) olur.
Sıkça Sorulan Sorular
Bu, nokta (skaler) çarpım mıdır? Hayır. Nokta (iç) çarpım iki vektörü çarpar ve tek bir sayı döndürür. Burada ise bir vektörü tek bir skalerle çarparak yine bir vektör elde ederiz.
\(\lambda = 0\) ne üretir? Aynı boyuttaki sıfır vektörünü \((0, 0, \dots, 0)\). \(\lambda = 1\) vektörü değiştirmeden döndürür, \(\lambda = -1\) ise vektörün tersini (negatifini) verir.
Boyut değişir mi? Asla; sonuç vektörü her zaman girdi vektörüyle tam olarak aynı sayıda bileşene sahiptir.
