ما المقصود بضرب المتجه في عدد قياسي؟
يأخذ ضرب المتجه في عدد قياسي رقمًا واحدًا (يُسمّى العدد القياسي ويُرمز له بـ لامدا) ومتجهًا \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\)، ثم يُنتج متجهًا جديدًا c تُضرب فيه كل مركّبة بذلك العدد القياسي. وهذه إحدى العمليتين الأساسيتين في الجبر الخطّي (إلى جانب جمع المتجهات)، وتنطبق بالطريقة نفسها في كل مكان، فهي رياضيات بحتة لا تتعلق بوحدات قياس ولا بقواعد خاصة ببلد معيّن.
هندسيًا، يؤدي الضرب في عدد قياسي موجب إلى تمديد المتجه أو تقليصه على امتداد اتجاهه نفسه؛ أما العدد القياسي السالب فيقلب اتجاهه إلى الاتجاه المعاكس أيضًا؛ في حين أن العدد القياسي الذي يساوي صفرًا يجعله ينهار إلى المتجه الصفري.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل مركّبات متجهك على هيئة أرقام مفصولة بفواصل (مثل 1, 2, 3)، ثم أدخل العدد القياسي لامدا. تضرب الحاسبة كل مركّبة في لامدا وتُعيد متجه النتيجة بالبُعد نفسه. والقيم السالبة والكسرية والصفرية كلها مقبولة.
الصيغة الرياضية
إذا كان \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)\) والعدد القياسي لامدا، فإن النتيجة هي
$$\lambda\,\mathbf{a} = \lambda\left(a_1,\, a_2,\, \dots,\, a_n\right) = \left(\lambda\,a_1,\ \lambda\,a_2,\ \dots,\ \lambda\,a_n\right)$$وبصورة مكافئة، لكل دليل i: \(c_i = \lambda \times a_i\). ويساوي بُعد الناتج دائمًا بُعد المدخل.
مثال محلول
لنفترض أن \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) وأن \(\lambda = 3\). عندئذٍ \(c_1 = 3 \times 1 = 3\)، و\(c_2 = 3 \times 2 = 6\)، و\(c_3 = 3 \times 3 = 9\)، فيكون \(\mathbf{c} = (3, 6, 9)\). ومثال ثانٍ: \(\mathbf{a} = (-2, 0.5, 4)\) مع \(\lambda = -2\) يعطي \(\mathbf{c} = (4, -1, -8)\).
الأسئلة الشائعة
هل هذا هو الضرب القياسي (الجداء النقطي)؟ لا. الضرب القياسي (الجداء الداخلي) يضرب متجهين معًا ويُعيد رقمًا واحدًا. أما هنا فنضرب متجهًا واحدًا في عدد قياسي واحد فنحصل على متجه.
ماذا ينتج عندما تكون \(\lambda = 0\)؟ ينتج المتجه الصفري \((0, 0, \dots, 0)\) بالبُعد نفسه. وعندما تكون \(\lambda = 1\) يبقى المتجه دون تغيير، وعندما تكون \(\lambda = -1\) ينتج المتجه المعاكس (المنفي).
هل يتغيّر البُعد؟ أبدًا — يحتوي متجه النتيجة دائمًا على العدد نفسه من المركّبات الموجودة في متجه المدخل.
